Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 30cm. Chiều rộng BC bằng 2/3 chiều dài

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần xác định các thông tin về hình chữ nhật ABCD.

### a) Tính diện tích tam giác MPN

1. **Xác định các thông số của hình chữ nhật:**
- Chiều dài AB = 30 cm.
- Chiều rộng BC = (2/3) * AB = (2/3) * 30 cm = 20 cm.
- Do đó, tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật sẽ là:
- A(0, 0)
- B(30, 0)
- C(30, 20)
- D(0, 20)

2. **Tính độ dài đường chéo AC:**
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{30^2 + 20^2} = \sqrt{900 + 400} = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13} \text{ cm}. \]

3. **Tìm tọa độ các điểm M và N:**
- Đoạn AC được chia thành 3 phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài:
\[ MN = \frac{AC}{3} = \frac{10\sqrt{13}}{3} \text{ cm}. \]

- Tọa độ điểm M (sau 1/3 độ dài AC):
\[
M\left( \frac{30}{3}, \frac{20}{3} \right) = M(10, \frac{20}{3}).
\]

- Tọa độ điểm N (sau 2/3 độ dài AC):
\[
N\left( \frac{2 \cdot 30}{3}, \frac{2 \cdot 20}{3} \right) = N(20, \frac{40}{3}).
\]

4. **Tính tọa độ điểm P (trung điểm của DC):**
- Tọa độ điểm D(0, 20) và C(30, 20):
\[
P\left( \frac{0 + 30}{2}, \frac{20 + 20}{2} \right) = P(15, 20).
\]

5. **Tính diện tích tam giác MPN:**
Diện tích tam giác được tính bởi công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
Áp dụng cho điểm M(10, 20/3), N(20, 40/3), P(15, 20):

\[
S = \frac{1}{2} \left| 10\left(\frac{40}{3} - 20\right) + 20\left(20 - \frac{20}{3}\right) + 15\left(\frac{20}{3} - \frac{40}{3}\right) \right|
\]

Tính từng phần:
- Tính \( y_2 - y_3 = \frac{40}{3} - 20 = \frac{40}{3} - \frac{60}{3} = \frac{-20}{3} \)
- Tính \( y_3 - y_1 = 20 - \frac{20}{3} = \frac{60}{3} - \frac{20}{3} = \frac{40}{3} \)
- Tính \( y_1 - y_2 = \frac{20}{3} - \frac{40}{3} = \frac{-20}{3} \)

Cho vào công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| 10 \cdot \frac{-20}{3} + 20 \cdot \frac{40}{3} + 15 \cdot \frac{-20}{3} \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| -\frac{200}{3} + \frac{800}{3} - \frac{300}{3} \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{300}{3} \right| = \frac{1}{2} \cdot 100 = 50 \text{ cm}^2.
\]

### b) So sánh 2 đoạn thẳng MH và NK

1. **Xác định точки H và K**
- H là điểm mà MH vuông góc với DC, điểm này sẽ nằm trên DC, nghĩa là H cùng hoành độ với M, vì MH vuông góc với DC (mà DC nằm ngang).
- K tương tự, K cũng sẽ có hoành độ giống với N.

2. **So sánh chiều dài MH và NK**
- Vì H nằm trên DC, nên sẽ có:
\[
MH = y_M - 20 = \frac{20}{3} - 20 = \frac{20 - 60}{3} = -\frac{40}{3}.
\] (tức là chiều dài tuyệt đối là \( \frac{40}{3} \)).

- NK cũng có thể tính tương tự:
\[
NK = y_N - 20 = \frac{40}{3} - 20 = \frac{40 - 60}{3} = -\frac{20}{3}.
\]

3. **Kết luận:**
\[
MH = \frac{40}{3} \text{ cm} > NK = \frac{20}{3} \text{ cm}.
\]

Tóm lại:
- Diện tích tam giác MPN là 50 cm².
- Đoạn thẳng MH lớn hơn NK.