Cho hình bình hành ABCD gọi E F G H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Để chứng minh các yêu cầu trên, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành và các định nghĩa về trung điểm.

### a. Chứng minh rằng EA = GC và tam giác AEH = tam giác CGF

1. **Chứng minh EA = GC:**
- Gọi \( A \) và \( C \) có tọa độ lần lượt là \( A(a, b) \) và \( C(c, d) \).
- Do \( E \) và \( G \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), ta có:
- Tọa độ của \( E \) là \( E\left(\frac{a+x}{2}, \frac{b+y}{2}\right) \) (với \( B(x, y) \)).
- Tọa độ của \( G \) là \( G\left(\frac{c+z}{2}, \frac{d+w}{2}\right) \) (với \( D(z, w) \)).
- Đặc biệt, trong hình bình hành:
- \( A \) và \( C \) là các đỉnh đối diện, nên \( A \) và \( C \) nằm trên cùng một đường chéo.
- Cả hai đoạn \( EA \) và \( GC \) đều nối từ trung điểm đến các đỉnh ở đối diện, do đó theo tính chất của hình bình hành ta có \( EA = GC \).

2. **Chứng minh tam giác AEH = tam giác CGF:**
- Ta có \( H \) và \( F \) cũng là các trung điểm, với:
- Tọa độ \( H \) là trung điểm của \( DA \).
- Tọa độ \( F \) là trung điểm của \( BC \).
- Các cạnh tương ứng cũng cong bằng:
- \( EH = FG \) (vì \( E, F, G, H \) là trung điểm).
- Hai tam giác AEH và CGF có hai cạnh tương ứng bằng nhau (trong trường hợp này là \( EA = GC \) và \( EH = FG \)) và có chung một cạnh (cạnh bậc góc) nên theo tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (CCC) ta kết luận:
- \( \triangle AEH \cong \triangle CGF \).

### b. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình bình hành

1. **Chứng minh rằng EFGH là tứ giác đối xứng:**
- Chúng ta có \( E \) và \( G \) là trung điểm của các cạnh đối diện \( AB \) và \( CD \), còn \( F \) và \( H \) là trung điểm của 2 cạnh còn lại.
- Để tứ giác EFGH là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng:
- \( EF \parallel GH \) và \( EH \parallel FG \).
- Theo tính chất của hình bình hành:
- Cạnh \( EH \) sẽ song song với \( FG \) vì cả hai cạnh đều nối giữa các trung điểm của các cạnh đối diện trong hình bình hành ban đầu.
- Cạnh \( EF \) sẽ song song với cạnh \( GH \) vì đây cũng là các trung điểm của các cạnh đối diện trong hình bình hành ban đầu.

2. **Từ đó, do cả 2 cặp cạnh đối diện đều song song và bằng nhau, ta kết luận:**
- Tứ giác \( EFGH \) là một hình bình hành.

Kết luận, ta đã chứng minh xong yêu cầu a và b.