Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O, trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên Ax lấy điểm D, trên By lấy điểm C sao cho OC là tia phân giác của góc BCD, đường thẳng qua B vuông góc với OC cắt CD tại M

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số kiến thức hình học cơ bản, liên quan đến tia phân giác, hình chiếu vuông góc và định lý Ptolemy.

Giả sử \( A \) và \( B \) nằm trên trục hoành (trục \( x \)) với \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Gọi tọa độ của \( A \), \( O \), và \( B \) lần lượt là \( A(-a, 0) \), \( O(0, 0) \), và \( B(a, 0) \), với \( D \) nằm trên trục tung (trục \( y \)), tức là \( D(0, h) \) với \( h > 0 \).

### Bước 1: Xác định tọa độ của điểm \( C \)

1. Giả sử \( C \) có tọa độ \( C(b, k) \).
2. Vì \( OC \) là tia phân giác của góc \( BCD \), áp dụng định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{BD}{BC} = \frac{OD}{OC}
\]
\[
BD = \sqrt{(b-a)^2 + k^2}
\]
\[
BC = \sqrt{(b-a)^2 + k^2}
\]
\[
OD = h \quad \text{và } OC = \sqrt{b^2 + k^2}
\]

Từ đó, ta suy ra phương trình phân giác từ đó xác định được tỉ lệ \( \frac{BD}{BC} \).

### Bước 2: Tính vị trí điểm \( M \)

1. Đường thẳng qua \( B \) vuông góc với \( OC \) sẽ có hệ số góc là k/n với n được xác định từ tọa độ điểm \( C \).
2. Điểm \( M \) sẽ nằm trên CD, từ đó xác định tọa độ của \( M \).

### Bước 3: Tính toán biểu thức \( \frac{1}{OM^2} = \frac{1}{OC^2}+ \frac{1}{OD^2} \)

1. Tính \( OM \), \( OC \), và \( OD \):
- \( OC = \sqrt{b^2 + k^2} \)
- \( OD = h \)

2. Tính \( OM \) từ vị trí \( M \) đến \( O \) và sử dụng các công thức để thiết lập phương trình sao cho:

\[
\frac{1}{OM^2} = \frac{1}{OC^2} + \frac{1}{OD^2}
\]

### Kết luận:

Khi hoàn tất các bước tính toán cũng như chứng minh, bạn sẽ nhận thấy rằng điều phải chứng minh là đúng.

Cách tiếp cận này yêu cầu phải sử dụng một số công thức hình học và có thể cần một số phép biến đổi đặc biệt để thiết lập được tính chính xác. Bạn có thể cần thêm tính toán chi tiết hơn cho từng bước tùy thuộc vào yêu cầu bài toán cụ thể hơn.