Để giải bài toán này, ta sẽ đặt thời gian làm việc của mỗi người. Giả sử:

- Người thứ nhất làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong \( x \) giờ.
- Người thứ hai làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong \( y \) giờ.

Từ thông tin trong đề bài, ta biết rằng:

1. Cả hai cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong 4 giờ, tức là công suất làm việc của cả hai cộng lại là \( \frac{1}{4} \) công việc/giờ:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}
\]

2. Hai người cùng làm trong 2 giờ, tức là họ đã hoàn thành được:

\[
\text{Công việc hoàn thành sau 2 giờ} = 2 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
\]

Sau 2 giờ, công việc còn lại là:

\[
1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

Người thứ nhất rời đi, còn người thứ hai làm việc một mình thêm 6 giờ nữa, nghĩa là trong 6 giờ, người thứ hai đã hoàn thành được:

\[
\frac{6}{y}
\]

Và công việc tổng cộng của người thứ hai sau 6 giờ đó phải là phần công việc còn lại:

\[
\frac{6}{y} = \frac{1}{2}
\]

Từ đó, ta có:

\[
\frac{6}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 12
\]

Sau khi có \( y = 12 \), ta sẽ thay vào phương trình đầu tiên để tìm \( x \):

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}
\]

Chuyển đổi để tính \( \frac{1}{x} \):

\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{4} - \frac{1}{12}
\]

Tìm mẫu chung của các phân số:

\[
\frac{1}{4} = \frac{3}{12} \quad \text{và} \quad \frac{1}{12} = \frac{1}{12}
\]

Do đó:

\[
\frac{1}{x} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
\]

Từ đó, ta tìm được:

\[
x = 6
\]

Vậy thời gian hoàn thành công việc của mỗi người là:
- Người thứ nhất: 6 giờ.
- Người thứ hai: 12 giờ.