Để giải các phương trình đã cho, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

**1. Phương trình: \((x-1)^3 + 3(x+1)^2 = x^3 + 8\)**

Trước tiên, ta sẽ mở rộng các biểu thức:

- Mở rộng \((x - 1)^3\):
\[
(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1
\]

- Mở rộng \(3(x + 1)^2\):
\[
3(x + 1)^2 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3
\]

Bây giờ, thay vào phương trình ban đầu:
\[
x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 3x^2 + 6x + 3 = x^3 + 8
\]

Rút gọn bên trái:
\[
x^3 + (3x - 1 + 6x + 3) = x^3 + 8
\]
\[
x^3 + 9x + 2 = x^3 + 8
\]

Giảm trừ \(x^3\) từ cả hai bên:
\[
9x + 2 = 8
\]

Giải phương trình này:
\[
9x = 8 - 2 \implies 9x = 6 \implies x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
\]

Vậy nghiệm của phương trình đầu tiên là:
\[
x = \frac{2}{3}
\]

**2. Phương trình: \(x^2 - 4 = 8(x - 2)\)**

Chuyển mọi thứ về một phía:
\[
x^2 - 4 - 8(x - 2) = 0
\]

Mở rộng và rút gọn:
\[
x^2 - 4 - 8x + 16 = 0
\]
\[
x^2 - 8x + 12 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 12\):
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}
\]
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}
\]
\[
x = \frac{8 \pm 4}{2}
\]

Có 2 nghiệm:
1. \(x = \frac{12}{2} = 6\)
2. \(x = \frac{4}{2} = 2\)

Vậy nghiệm của phương trình thứ hai là:
\[
x = 6 \quad \text{và} \quad x = 2
\]

Tóm lại:
- Nghiệm của phương trình 1 là \(x = \frac{2}{3}\).
- Nghiệm của phương trình 2 là \(x = 6\) và \(x = 2\).