Để chứng minh bất đẳng thức \( GM < \frac{1}{4} (BC + AG) \) trong trường hợp này, ta có thể sử dụng một số định lý và tính chất hình học. Dưới đây là hướng dẫn cho từng bước trong chứng minh:

1. **Gọi số đo các đoạn**:
- Gọi \( G \) là trung điểm của \( AH \), do đó \( AG = GH \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn \( AB \).

2. **Áp dụng tính chất trung điểm**:
- Đoạn thẳng \( GM \) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng đoạn thẳng nối từ trung điểm đến một điểm bất kỳ trong tam giác \( ABC \).

3. **Sử dụng định lý tam giác**:
- Theo định lý về khoảng cách từ các điểm đến các cạnh của tam giác, ta có thể liên hệ các đoạn \( BC \) và \( AG \) đến đoạn \( GM \).

4. **Tính toán**:
- Lưu ý rằng \( GM < \frac{1}{2} (AG + AH) \) và tính toán các đoạn \( AH\), \( BC \) từ các kích thước được cho.

5. **Kết luận**:
- Kết hợp các điều kiện trên, ta sẽ có được bất đẳng thức cần chứng minh, cụ thể là \( GM < \frac{1}{4} (BC + AG) \).

Chú ý rằng trong quá trình chứng minh, cần phải có hình vẽ minh họa để dễ dàng theo dõi các đoạn và mối liên hệ giữa chúng.