Để chứng minh rằng hệ phương trình

\[
\begin{cases}
x - my = 2 - 4m \\
mx + y = 3m + 1
\end{cases}
\]

luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\), ta sẽ sử dụng phương pháp loại trực tiếp hoặc tìm nghiệm theo cách thế hệ.

1. **Giải hệ phương trình:**

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

\[
x = my + 2 - 4m
\]

Thay giá trị của \(x\) vào phương trình thứ hai:

\[
m(my + 2 - 4m) + y = 3m + 1
\]

Giải phương trình này:

\[
m^2y + 2m - 4m^2 + y = 3m + 1
\]
\[
(m^2 + 1)y + 2m - 4m^2 - 3m - 1 = 0
\]
\[
(m^2 + 1)y + (2m - 4m^2 - 3m - 1) = 0
\]
\[
(m^2 + 1)y + (-4m^2 - m - 1) = 0
\]

Ta có thể rút gọn phương trình này:

\[
(m^2 + 1)y = 4m^2 + m + 1
\]

2. **Xem xét các trường hợp:**

- **Trường hợp \(m^2 + 1 \neq 0\)** (luôn đúng với mọi giá trị của \(m\) vì \(m^2 + 1 > 0\))
- Từ đó, ta có:

\[
y = \frac{4m^2 + m + 1}{m^2 + 1}
\]

- Sau khi tìm được \(y\), ta có thể thay ngược vào phương trình đầu tiên để tìm \(x\):

\[
x = my + 2 - 4m
\]

3. **Kết luận:**

Vì với mọi giá trị của \(m\), ta đều có thể tìm được \(x\) và \(y\), do đó, hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\).

Do vậy, ta đã chứng minh được rằng hệ phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).