Để giải hệ phương trình đã cho và tìm giá trị của \(a\) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất và \(P = xy\) đạt giá trị lớn nhất, ta thực hiện theo từng phần như sau:

### a. Giải hệ phương trình với \(a = 1\)

Thay \(a = 1\) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x - y = 1^2 - 2 \\
(1 + 1)x + 1y = 2 \cdot 1 - 1
\end{cases}
\]

Ta có:

\[
\begin{cases}
x - y = -1 \quad (1) \\
2x + y = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

**Giải phương trình:**

Từ (1), ta có:
\[ y = x + 1 \]

Thay vào phương trình (2):

\[
2x + (x + 1) = 1
\]
\[
3x + 1 = 1
\]
\[
3x = 0 \Rightarrow x = 0
\]
Suy ra từ (1):
\[
y = 0 + 1 = 1
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \(a = 1\) là \((x, y) = (0, 1)\).

### b. Tìm \(a\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Hệ phương trình sẽ có nghiệm duy nhất nếu định thức của hệ phương trình khác không.

Hệ phương trình trên có dạng:

\[
\begin{cases}
ax - y = a^2 - 2 \\
(a + 1)x + ay = 2a - 1
\end{cases}
\]

Viết dưới dạng ma trận:

\[
\begin{pmatrix}
a & -1 \\
a + 1 & a
\end{pmatrix}
\]

Định thức của ma trận là:

\[
D = a \cdot a - (-1)(a + 1) = a^2 + a + 1
\]

Ta cần \(D \neq 0\):

\[
a^2 + a + 1 \neq 0
\]

Biểu thức \(a^2 + a + 1\) luôn dương với mọi \(a\), do đó không có nghiệm nào làm cho \(D = 0\).

### Tìm giá trị tối đa của \(P = xy\)

Từ phương trình:

\[
P = xy = x(a^2 - 2 - ax) = -ax^2 + (a^2 - 2)x
\]

Để tối đa hóa \(P\), sử dụng công thức tìm cực trị:

1. Tính đạo hàm:
\[
\frac{dP}{dx} = -2ax + (a^2 - 2)
\]

2. Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của \(x\):
\[
-2ax + (a^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = \frac{a^2 - 2}{2a}
\]

3. Thay vào \(P\) để tìm giá trị \(P\) tại điểm cực trị.

4. Xét \(P\) tại biên và cực trị để so sánh.

Giới hạn \(P\) phụ thuộc vào giá trị của \(a\). Cần tìm giá trị cụ thể của \(a\) để \(P\) đạt cực đại.

Với các điều kiện trên, bạn có thể tính toán các giá trị cụ thể cho \(P\) theo phương trình và phương pháp trên để tìm giá trị \(a\) giúp \(P\) lớn nhất.