Cho hình thang cân MNPQ có MN//PQ. Chứng minh OM = ON; OP=OQ

Trong hình thang cân MNPQ với MN // PQ, chúng ta sẽ chứng minh các phần yêu cầu.

### a. Chứng minh OM = ON và OP = OQ

1. **Đặt điểm O** là điểm giao nhau của đường chéo MP và NQ.

2. Do hình thang MNPQ là hình thang cân, nên góc MNP bằng góc PQN. Tương tự, góc NQP bằng góc PMN.

3. Do tính chất của hình thang cân, ta có thể rút ra hai tam giác là tam giác MOP và tam giác NOQ là hai tam giác đồng dạng (tương ứng).
- Vậy, OM/ON = OP/OQ, do đó:
\[
OP = OM \cdot \frac{AO}{AO} = OQ \cdot \frac{AO}{AO} = ON
\]

4. Suy ra \( OM = ON \) và \( OP = OQ \).

### b. Chứng minh OI là đường trung trực của PQ

1. **Gọi I là trung điểm của đoạn PQ.** Theo định nghĩa, I là điểm chia PQ thành hai đoạn bằng nhau: PI = IQ.

2. Theo giả thiết, PQ // MN. Do đó, đường trung trực của PQ cũng sẽ vuông góc với đoạn thẳng PQ.

3. Chúng ta đã biết OM = ON và OP = OQ, tức là từ điểm O đến đường thang PQ đều đều. Điều này có nghĩa là O là điểm thỏa mãn điều kiện đường trung trực.

4. Từ điểm O đến điểm I, ta có thể rút ra được rằng:
- Điều kiện i, và i, theo hình thang cân, cũng như đường chéo, dẫn tới OI vuông góc với PQ và cắt PQ tại I.

5. Suy ra OI là đường trung trực của PQ, vì nó chia PQ thành hai đoạn bằng nhau và vuông góc.

### Kết luận
Vậy chúng ta đã chứng minh được cả hai phần yêu cầu:
- \( OM = ON \) và \( OP = OQ \).
- OI là đường trung trực của PQ.