Để tìm số đo các góc \( BON \) và \( DON \), ta sẽ áp dụng các thuộc tính của góc chắn.

1. **Góc \( AOC \)** đã biết là \( 50^\circ \).
2. Tia \( OM \) là tia phân giác của góc \( AOC \), do đó:
\[
AOM = \frac{AOC}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ
\]
\[
COM = \frac{AOC}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ
\]

3. Bây giờ, xem xét góc \( BON \) và \( DON \):
- Hai đường thẳng \( AB \) và \( CD \) cắt nhau tại \( O \), tạo ra các cặp góc đối đỉnh.
- Do đó, ta có:
\[
BON = 25^\circ \quad \text{(góc đối đỉnh với } AOM\text{)}
\]
\[
DON = 25^\circ \quad \text{(góc đối đỉnh với } COM\text{)}
\]

Vậy câu trả lời là:
- \( \angle BON = 25^\circ \)
- \( \angle DON = 25^\circ \)