Để chứng minh rằng 3 đường thẳng AC, BE và DF đồng quy, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác và các điểm trên các đường trung tuyến, cũng như những tính chất về các đoạn thẳng.

Gọi A, B, C là 3 đỉnh của tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn BC. Ta có:

1. **Định nghĩa điểm D và E**: Đặt D, E là các điểm trên AM sao cho AD = DE = DM.

2. **Điểm F**: Điểm F được lấy trên tia đối của C theo hướng của B sao cho CF = CM.

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng 3 đường thẳng AC, BE và DF đồng quy.

### Bước 1: Tính chất của các điểm

- Điểm M là trung điểm của BC, do đó \(BM = MC\).
- \(D\), \(E\) đều nằm trên đường trung tuyến AM. Ta có:
- \(AD = DE = DM\) có nghĩa là D, E, M chia đoạn AM thành 3 đoạn bằng nhau.
- \(CF = CM\) có nghĩa là điểm F nằm trên đường thẳng CF, và \(C\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(B\), tức là \(F\) tương ứng với \(C\) trên đường thẳng đó.

### Bước 2: Sử dụng tính chất đồng quy

Để chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BE và DF đồng quy, ta ước lượng các tam giác và các tỉ lệ mà các điểm D, E, F tạo thành với các đỉnh của tam giác ABC:

- Gọi điểm giao nhau của các đường thẳng AC, BE và DF là G.
- Từ hình vẽ, ta sẽ có các tam giác ABC, ADF, ABF, AEF, ABG, ACG và GDE.

### Bước 3: Sử dụng định lý Ceva

Theo định lý Ceva, để 3 đường thẳng AC, BE, DF đồng quy, cần chứng minh tỉ lệ giữa các đoạn thẳng là 1. Ta có:

\[
\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1
\]

### Bước 4: Kiểm chứng các tỉ lệ

- Tính tỉ lệ \(AF/FB\)
- Tính tỉ lệ \(BD/DC\)
- Tính tỉ lệ \(CE/EA\)

Chứng minh các tỉ lệ trên đều thỏa mãn định lý Ceva sẽ đưa tới kết luận rằng 3 đường thẳng AC, BE và DF đồng quy.

### Kết luận

Do vậy, qua việc sử dụng các tính chất điểm, đoạn thẳng cùng với định lý Ceva, ta có thể khẳng định rằng ba đường thẳng AC, BE và DF đồng quy tại một điểm.