Để giải bài toán này, trước hết ta cần tính tổng \( A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2010} \). Tổng này là một cấp số nhân với công bội \( r = 2 \) và số hạng đầu là \( 2^1 \):

\[
A = 2^1(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2009})
\]

Công thức tính tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó \( a \) là số hạng đầu, \( r \) là công bội và \( n \) là số hạng. Ở đây, số hạng đầu \( a = 2^1 = 2 \), công bội \( r = 2 \) và số hạng là \( n = 2010 \).

Vậy ta có:

\[
A = 2(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2009}) = 2 \cdot 2^{2010} - 1 = 2^{2011} - 2
\]

Bây giờ, ta sẽ xem \( 2^{2011} - 2 \) có chia hết cho 7 hay không. Ta sẽ sử dụng định lý Fermat và quy luật chu kỳ của các số mũ modulo 7.

### Tính \( 2^n \mod 7 \)
Ta tính một vài giá trị của \( 2^n \mod 7 \):
- \( 2^1 = 2 \)
- \( 2^2 = 4 \)
- \( 2^3 = 8 \equiv 1 \mod 7 \)
- \( 2^4 = 16 \equiv 2 \mod 7 \)
- \( 2^5 = 32 \equiv 4 \mod 7 \)
- \( 2^6 = 64 \equiv 1 \mod 7 \)

Nhận thấy rằng \( 2^n \mod 7 \) có chu kỳ 3: \( 2, 4, 1 \).

### Tính \( 2^{2011} \mod 7 \)
Ta có thể tìm chỉ số modulo 3 của 2011:
\[
2011 \mod 3 \equiv 1
\]
Do đó:
\[
2^{2011} \equiv 2^{1} \equiv 2 \mod 7
\]

### Tính \( 2^{2011} - 2 \mod 7 \)
Bây giờ ta tính:
\[
2^{2011} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 7
\]

Vậy \( A = 2^{2011} - 2 \) chia hết cho 7.

### Kết luận
Do đó, tổng \( A \) chia hết cho 7.