Để tìm số nguyên \( x \) sao cho \( x^2 - x - 1 \) chia hết cho \( x - 1 \), ta sử dụng phép chia đa thức.

Ta có:

\[
x^2 - x - 1 = (x - 1)(x + 1) + c
\]

với \( c \) là phần dư khi chia \( x^2 - x - 1 \) cho \( x - 1 \).

Để tìm phần dư \( c \), ta có thể thay \( x = 1 \) vào biểu thức cần tìm:

\[
P(1) = 1^2 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1
\]

Vậy \( c = -1 \).

Biểu thức này sẽ chia hết cho \( x - 1 \) khi mà phần dư bằng 0. Do đó, ta cần:

\[
-1 = 0
\]

Điều này là không đúng với bất kỳ giá trị nào của \( x \). Do đó, \( x^2 - x - 1 \) không thể chia hết cho \( x - 1 \) với bất kỳ giá trị nào của \( x \).

Vậy không tồn tại số nguyên \( x \) sao cho \( x^2 - x - 1 \) chia hết cho \( x - 1 \).