Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ làm theo các bước sau:

### 1. Ký hiệu và Thiết lập
Gọi các điểm trong hình chữ nhật ABCD có:
- \( AB = 2a \)
- \( BC = a \)

Do đó, các tọa độ các điểm sẽ là:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(2a, 0) \)
- \( C(2a, a) \)
- \( D(0, a) \)

### 2. Tọa độ điểm I
Đường chéo \( BD \) có phương trình:
- Điểm B: \( (2a, 0) \)
- Điểm D: \( (0, a) \)

**Độ dốc của BD**:
\[
m_{BD} = \frac{a - 0}{0 - 2a} = -\frac{a}{2a} = -\frac{1}{2}
\]

**Phương trình đường thẳng BD**:
\[
y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 2a) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + a
\]

### 3. Kẻ AI vuông góc với BD tại I
Đường thẳng AI sẽ có độ dốc:
\[
m_{AI} = 2
\]

**Phương trình đường thẳng AI** (đi qua A):
\[
y = 2x
\]

### 4. Tìm tọa độ điểm I
Để tìm điểm I, ta giải hệ phương trình giữa đường thẳng BD và AI:
\[
2x = -\frac{1}{2}x + a
\]
Giải phương trình trên:
\[
2.5x = a \Rightarrow x = \frac{2a}{5}
\]
Tương ứng với:
\[
y = 2 \cdot \frac{2a}{5} = \frac{4a}{5}
\]

Do đó, tọa độ điểm \( I \) là \( \left(\frac{2a}{5}, \frac{4a}{5}\right) \).

### 5. Tìm điểm E
\[
E = (x_E, a) \quad \text{với} \quad y = 2x_E \Rightarrow a = 2x_E \Rightarrow x_E = \frac{a}{2}
\]
Vậy, tọa độ điểm \( E \) là \( \left(\frac{a}{2}, a\right) \).

### 6. Chứng minh các yêu cầu
#### a) Chứng minh \( AD^2 = DI \cdot DB \)
Tính các khoảng cách:
- \( AD = a \)
- \( DI \) và \( DB \):
\[
DI = \sqrt{\left(\frac{2a}{5}\right)^2 + \left(a - \frac{4a}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{25} + \left(\frac{a}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{25} + \frac{a^2}{25}} = \sqrt{\frac{5a^2}{25}} = \frac{a}{\sqrt{5}}
\]
\[
DB = \sqrt{(2a-0)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
\]
\[
DI \cdot DB = \frac{a}{\sqrt{5}} \cdot a\sqrt{5} = a^2
\]
Vì vậy, ta có:
\[
AD^2 = a^2 = DI \cdot DB
\]

#### b) Chứng minh \( BI = 4DI \)
Tính khoảng cách \( BI \):
1. \( BI = \sqrt{\left(2a - \frac{2a}{5}\right)^2 + \left(0 - \frac{4a}{5}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{10a}{5} - \frac{2a}{5}\right)^2 + \left( - \frac{4a}{5}\right)^2} \)
2. Tính toán:
\[
= \sqrt{\left(\frac{8a}{5}\right)^2 + \left(-\frac{4a}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{64a^2}{25} + \frac{16a^2}{25}} = \sqrt{\frac{80a^2}{25}} = 4 \cdot \frac{a}{\sqrt{5}} = 4DI
\]

### Kết luận
- Ta đã chứng minh xong:
- a) \( AD^2 = DI \cdot DB \)
- b) \( BI = 4DI \)