Để chứng minh các đẳng thức trong tam giác ABC với các điểm E và D như đã cho, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh \( \triangle ABD \sim \triangle ACE \)

1. **Sử dụng tỉ lệ đã cho:**
- \( AE/AC = 1/3 \) và \( AD/AB = 1/3 \).

2. **Gọi:**
- \( AE = x \)
- \( AC = 3x \)
- \( AD = y \)
- \( AB = 3y \)

3. **So sánh các cạnh tương ứng:**
- Cạnh ABD và ACE:
- \( AB = 3y \) trên cạnh của \( \triangle ABC \)
- \( AC = 3x \) trên cạnh của \( \triangle ABC \)
- Tỉ lệ các cạnh:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{3y}{3x} = \frac{y}{x}.
\]

4. **Sử dụng góc chung:**
- Góc \( A \) là góc chung của hai tam giác.
- Kết hợp lại, ta có \( \triangle ABD \sim \triangle ACE \) theo định lý đồng dạng (tỉ lệ các cạnh và góc chung).

### b) Chứng minh \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)

1. **Sử dụng tỉ lệ:**
- Sử dụng luôn tỉ lệ đã có là \( AE/AC \) và \( AD/AB \):
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}, \quad \text{và} \quad \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}.
\]

2. **Góc chung:**
- Góc \( A \) là góc chung cho hai tam giác.

3. **Tham chiếu tỉ lệ các cạnh:**
- Có trích dẫn các cạnh, từ đó suy ra \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) theo tỉ lệ cạnh tương ứng và góc chung.

### c) Gọi \( I \) là giao điểm của \( BD \) và \( EC \). Chứng minh \( ID/IB = IE/IC \)

1. **Sử dụng lý thuyết tỉ lệ:**
- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, chúng ta có thể thiết lập tỉ lệ các đoạn thẳng.
- Bởi vì \( \triangle ABD \sim \triangle ACE \) và \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \), chúng ta có thể sử dụng điều này để thiết lập các tỉ lệ:
\[
\frac{ID}{IB} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3} \quad \text{và} \quad \frac{IE}{IC} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}.
\]

2. **Kết luận:**
- Từ đây, ta thấy rằng \( ID/IB = IE/IC \).

Như vậy, các chứng minh đã hoàn tất cho bài toán.