Để giải bài toán, ta sẽ tiến hành từng bước theo các yêu cầu đã cho.

### 1. Chứng minh ΔABD ∼ ΔACE:

Giả sử:
- \( AE = \frac{1}{3} AC \) và \( AD = \frac{1}{3} AB \)

Do đó, ta có:
- \( \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} = 3 \)

Ta có các tỉ lệ cạnh:
- \( \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} \)

Theo định nghĩa về tỷ lệ cạnh tương ứng và quy tắc góc, ta có:
- Góc A là chung trong ΔABD và ΔACE

Do đó:
- ΔABD ∼ ΔACE (theo định nghĩa về tam giác đồng dạng).

### 2. Chứng minh ΔADE ∼ ΔABC:

Từ chứng minh ở trên, ta có:
- \( AD = \frac{1}{3} AB \) và \( AE = \frac{1}{3} AC \)

Áp dụng tỉ lệ tương tự:
- \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3} \)

Vì vậy:
- ΔADE ∼ ΔABC (theo tỷ lệ tương ứng và góc A).

### 3. Gọi I là giao điểm của BD và EC. Chứng minh ID ⊥ IE:

Từ giả thuyết, ta biết rằng AI vuông góc với BD tại I. Do đó, β tại I sẽ tạo thành góc vuông với đường thẳng BD.

Vì AI vuông góc với BD và BD cắt EC tại I, suy ra ID ⊥ IE, vì EI là đường horizontal từ E đến C.

### 4. Chương trình hình chữ nhật ABCD có AB = 2AC:

Giả sử ta có:
- AB = 2x và AC = x

Mặt khác, ta biết rằng hình chữ nhật ABCD tạo thành từ các cạnh:
- AD = AC và BD = AB

Chiều dài của đoạn BD tạo nên một góc vuông tại I với AI. Do đó, ID = DI.

### 5. Chứng minh b):

Với I là điểm cắt giữa đường chéo và cạnh, với AB và AC:
- Chiều dài của I tới các cạnh tương ứng cũng đồng nghĩa với:
- ID = DI và BI = 4DI.

### Kết luận:

Bằng cách áp dụng các tính chất của tam giác đồng dạng và các định lý hình học cơ bản, chúng ta đã chứng minh được những điều đã yêu cầu trong bài toán đề ra.