Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( |4 - x| + |x + 5| \), ta sẽ phân tích các khoảng giá trị của \( x \) dựa trên các điểm mà các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đổi dấu.

Các điểm quan trọng ở đây là \( x = 4 \) và \( x = -5 \). Ta sẽ chia thành 3 khoảng:

1. **Khoảng \( x < -5 \)**:
- Trong khoảng này, cả \( 4 - x \) và \( x + 5 \) đều âm, nên:
\[
|4 - x| = -(4 - x) = x - 4
\]
\[
|x + 5| = -(x + 5) = -x - 5
\]
Khi đó, biểu thức trở thành:
\[
|4 - x| + |x + 5| = (x - 4) + (-x - 5) = -9
\]

2. **Khoảng \( -5 \leq x < 4 \)**:
- Ở đây, \( 4 - x \) là dương và \( x + 5 \) là dương, do đó:
\[
|4 - x| = 4 - x
\]
\[
|x + 5| = x + 5
\]
Biểu thức trở thành:
\[
|4 - x| + |x + 5| = (4 - x) + (x + 5) = 9
\]

3. **Khoảng \( x \geq 4 \)**:
- Trong khoảng này, cả \( 4 - x \) và \( x + 5 \) đều dương, nên:
\[
|4 - x| = 4 - x
\]
\[
|x + 5| = x + 5
\]
Biểu thức trở thành:
\[
|4 - x| + |x + 5| = (x - 4) + (x + 5) = 2x + 1
\]

Bây giờ chúng ta sẽ tính giá trị tại các điểm đặc biệt:

- Tại \( x = -5 \):
\[
|4 - (-5)| + |-5 + 5| = |4 + 5| + |0| = 9 + 0 = 9
\]

- Tại \( x = 4 \):
\[
|4 - 4| + |4 + 5| = |0| + |9| = 0 + 9 = 9
\]

Tổng hợp các giá trị chúng ta đã tính ở các khoảng:
- Trong khoảng \( x < -5 \): giá trị là \(-9\).
- Trong khoảng \(-5 \leq x < 4\): giá trị là \(9\).
- Trong khoảng \( x \geq 4 \): giá trị sẽ tăng dần (giá trị tối thiểu là 9, tại \( x = 4 \)).

Do vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( |4 - x| + |x + 5| \) là:
\[
\boxed{-9}
\]