Để giải bài toán về hình thang vuông ABCD với các thông tin đã cho, ta thực hiện các phần như sau:

### a) Chứng minh ΔAOB ~ ΔDAB

Để chứng minh rằng hai tam giác ΔAOB và ΔDAB là tỉ lệ nhau, ta có thể dùng tiêu chí đồng dạng:
- ΔAOB có góc A = góc D = 90°.
- Góc OAB = góc DAB (cùng nằm trên đường thẳng AB).

Do đó, theo tiêu chí góc - góc, ta có ΔAOB ~ ΔDAB.

### b) Tính độ dài AD

Ta có thể sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AOD:

\[
AD^2 = AB^2 + BD^2
\]

Tính BD:
- Do ABCD là hình thang vuông và AB // CD => chiều cao AO = DO.

Giả sử AO = h thì:
- Áp dụng định lý Pitago cho ΔAOB:

\[
AB^2 + AO^2 = OB^2 \implies 4^2 + h^2 = OB^2
\]

Tương tự với ΔCOD:
- CD = 9 cm => sử dụng định lý Pitago trong ΔCOD.

Khi có thêm các giá trị, ta có thể tính được độ dài AD.

### c) Chứng minh OAOD = OBOC

Để chứng minh diện tích hai hình này bằng nhau, ta nhận thấy rằng hai tam giác OAOD và OBOC có chung chiều cao từ O xuống thẳng hai cạnh AD và BC.

### d) Tính tỉ số \(\frac{S_{AOB}}{S_{CD}}\)

Diện tích tam giác AOB là:

\[
S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AO
\]

Diện tích hình thang ABCD có thể tính là:

\[
S_{CD} = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(4 + 9) \cdot h}{2} = \frac{13h}{2}
\]

Tỉ số diện tích sẽ là:

\[
\frac{S_{AOB}}{S_{CD}} = \frac{4 \cdot AO / 2}{(13h / 2)} \Rightarrow \frac{4AO}{13h}
\]

Bằng cách này, bạn có thể tính được tỉ số cụ thể khi có thêm giá trị cho AO và h.