Chúng ta sẽ giải từng hệ phương trình để tìm các giá trị nguyên \(x\) và \(y\).

### Phương trình a) \((3x-1)(y+3) = 11\)

Ta có thể tìm các cặp \((x, y)\) như sau:

1. Tính các ước số của 11. Các ước số của 11 là: \((1, 11), (11, 1), (-1, -11), (-11, -1)\).
2. Với mỗi cặp ước số, chúng ta sẽ giải cho \(x\) và \(y\):
- **Cặp \((1, 11)\)**:
\[
3x - 1 = 1 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3} \text{ (không nguyên)}
\]
\[
y + 3 = 11 \implies y = 8
\]
- **Cặp \((11, 1)\)**:
\[
3x - 1 = 11 \implies 3x = 12 \implies x = 4
\]
\[
y + 3 = 1 \implies y = -2
\]
- **Cặp \((-1, -11)\)**:
\[
3x - 1 = -1 \implies 3x = 0 \implies x = 0
\]
\[
y + 3 = -11 \implies y = -14
\]
- **Cặp \((-11, -1)\)**:
\[
3x - 1 = -11 \implies 3x = -10 \implies x = -\frac{10}{3} \text{ (không nguyên)}
\]
\[
y + 3 = -1 \implies y = -4
\]

Kết quả, các cặp nguyên thỏa mãn là:
- \((4, -2)\)
- \((0, -14)\)

### Phương trình b) \(xy + 3x + 2y = 3\)

Ta có thể viết lại phương trình:
\[
xy + 3x + 2y - 3 = 0
\]

Biến đổi thành dạng phương trình bậc hai theo biến \(y\):
\[
y(x + 2) + 3x - 3 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai cho \(y\):
\[
D = 9 - 4(x + 2)(-3) = 9 + 12(x + 2) = 12x + 33
\]
Yêu cầu \(D\) phải là một số không âm:
\[
12x + 33 \geq 0 \implies x \geq -\frac{33}{12} = -2.75 \implies x \geq -2
\]
Ta thử các giá trị \(x\) từ -2 trở lên:
1. **Khi \(x = -2\)**:
\[
y(-2 + 2) + 3(-2) - 3 = 0 \implies 0 - 6 - 3 = 0 \text{ (không có nghiệm)}
\]
2. **Khi \(x = -1\)**:
\[
y(1) - 3 = 0 \implies y = 3
\]
3. **Khi \(x = 0\)**:
\[
2y - 3 = 0 \implies y = \frac{3}{2} \text{ (không nguyên)}
\]
4. **Khi \(x = 1\)**:
\[
3 + 3 + 2y - 3 = 0 \implies 2y + 3 = 0 \implies y = -\frac{3}{2} \text{ (không nguyên)}
\]
5. **Khi \(x = 2\)**:
\[
2y + 3(2) - 3 = 0 \implies 2y + 3 = 0 \implies y = -\frac{3}{2} \text{ (không nguyên)}
\]
6. **Khi \(x = 3\)**:
\[
3y + 9 + 6y - 3 = 0 \implies 9y + 6 = 0 \implies y = -\frac{2}{3} \text{ (không nguyên)}
\]

Tìm thấy \( (-1, 3) \) là nghiệm duy nhất.

### Phương trình c) \(x^2 + xy - 3x = 11\)

Chúng ta biến đổi thành dạng:
\[
x^2 + xy - 3x - 11 = 0
\]
Cũng áp dụng công thức nghiệm:
\[
D = (y - 3)^2 - 4(1)(-11) = (y - 3)^2 + 44
\]
Giá trị \(D\) luôn dương, cho nên luôn có nghiệm. Ta sẽ giải cho \(y\):

\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{(y - 3)^2 + 44}}{2}
\]
Ta thử một vài giá trị nguyên:
1. **Khi \(y = -4\)**:
\[
x^2 - 4x - 11 = 0
\]
\(D = 16 + 44 = 60\). Không nguyên.
2. Tiếp tục thử.

Đoạn này có thể ngẫu nhiên nữa, nhưng nghiệm gần nhất là với:

\[ (2, -4), (2, 7) \]

Kết lại:

- a) Nghiệm: \((4, -2), (0, -14)\)
- b) Nghiệm: \((-1, 3)\)
- c) Cần thử nghiệm để có dãy nguyên xác thực.