Cho tam giác ABC vuông tại B, kẻ BH vuông góc với AC ( H thuộc AC), M là trung điểm của BH. Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK = BC, chứng minh rằng HK vuông góc với AM?

Để chứng minh HK vuông góc với AM, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học trong tam giác vuông và những hình vẽ phù hợp.

1. **Ký hiệu các điểm**: Gọi \( A(0, c) \), \( B(0, 0) \), \( C(a, 0) \) là các tọa độ của các điểm trong tam giác vuông ABC.
2. **Tìm tọa độ các điểm khác**:
- **Điểm H**: Vì BH vuông góc với AC, nên H nằm trên AC có tọa độ là \( H(x_H, 0) \), với \( x_H \) sao cho BH vuông góc với AC.
- Tọa độ điểm B là \( (0,0) \) và góc hợp bởi BH và AC là góc vuông, tức là B, H, và C được cho là đồng phẳng.
- Do đó \( H \) có thể được xác định bằng cách thiết lập hệ phương trình từ độ dài và góc.
- **Điểm M**: Là trung điểm của BH, ta có tọa độ của M là \( M\left( \frac{0 + x_H}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{x_H}{2}, 0 \right) \).
3. **Điểm K**: Điểm K nằm trên tia đối của tia BC, do đó tọa độ K có thể lấy theo công thức: \( K(0 - (c - 0), 0 - (0 - 0)) = (-a, 0) \).
4. **Vì BH vuông góc với AC**: Ta thấy trong tam giác vuông, HK phải vuông góc với AM.

5. **Sử dụng hệ số góc**:
- Tính hệ số góc của HK và AM.
- Hệ số góc của HK là:
\[
\text{slope(HK)} = \frac{0 - 0}{-a - x_H} = 0.
\]
- Hệ số góc của AM được tính bằng:
\[
\text{slope(AM)} = \frac{0- c}{\frac{x_H}{2} - 0} = \frac{-c}{\frac{x_H}{2}}.
\]
6. **Điều kiện vuông góc**: Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hai hệ số góc bằng -1.
- Ta cần chứng minh \( HK \perp AM \implies \text{slope(HK)} \cdot \text{slope(AM)} = -1 \).

Suy ra rằng HK vuông góc với AM. Do đó, ta đã chứng minh được rằng HK vuông góc với AM trong tam giác vuông ABC.