a)
 Ta có: tam giác ABC cân tại A (gt)
=> AB = AC
 AH là đường cao
=> AH⊥  BC
=> góc AHB = góc AHC = 90°
Xét  tam giác ABH và tam giác ACH có 
Cạnh AH chung
 => tam giác ABH = tam giác ACH (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
 
b) Ta có: tam giác ABH = tam giác ACH (cmt)
=> BH = CH
=> H là trung điểm của BC
 => AH là đường trung tuyến của tam giác ABC
 Mà G là giao điểm của AH và BN
=> G là trọng tâm của tam giác ABC
 => GN = 1/3 BN
 Mà NK = NG (gt)
=> NK = 1/3 BN
=> BK = BN - NK = BN - 1/3 BN = 2/3 BN
=> BN = 3/2 BK
 Ta có: CK = BN - BK = 3/2 BK - BK = 1/2 BK
Xét tam giác BKC, có:
    CK = 1/2 BK (cmt)
 => góc BCK = góc CBK (tính chất tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường cao)
     Mà góc CBK + góc BCK = 90 độ (do AH vuông góc với BC)
    => góc BCK = góc CBK = 45 độ
     => góc BKC = 180 độ - góc BCK - góc CBK = 180 độ - 45 độ - 45 độ = 90 độ
 => CK vuông góc với BC
c)Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC => AG = 2/3 AH
 Mà I là giao điểm của KH và CG
=> I là trung điểm của KH
 => KI = IH
Xét tam giác KHC, có:
     KI = IH (cmt)
   => CI là đường trung tuyến của tam giác KHC
  Mà CG là đường trung tuyến của tam giác BCK (do G là trọng tâm của tam giác ABC)
    => I là giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác BCK
    => I là trọng tâm của tam giác BCK
d)Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC => BG = 2/3 BN
 Mà BN = 3/2 BK (cmt) => BG = 2/3 . 3/2 BK = BK
 => BG = BK
Xét tam giác BGM, có:
    BG = BK (cmt)
     => góc BGM = góc BKM (tính chất tam giác có hai cạnh bằng nhau)
     Mà góc BKM + góc KMC = 180 độ
    => góc BGM + góc KMC = 180 độ
     => góc GMC = 180 độ - góc BGM - góc KMC = 180 độ - (góc BGM + góc KMC) = 0 độ
     => G, M, C thẳng hàng
 Xét tam giác BGC, có:
     G, M, C thẳng hàng (cmt)
     => GM là đường trung tuyến của tam giác BGC
     => GM < 1/2 (BC + GC) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác)
     Mà GC = 2/3 CG (do G là trọng tâm của tam giác ABC)
     => GM < 1/2 (BC + 2/3 CG)
    => GM < 1/2 (BC + 2/3 . 2/3 AG) (do CG = 2/3 AG)
     => GM < 1/2 (BC + 4/9 AG)
    => GM < 1/4 (BC + AG)