Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc về lũy thừa và phép chia. Hãy tính từng câu một.

**a)**
Tính:

\[
\frac{27^2 \cdot 9}{81}
\]

Biểu thức có thể viết lại như sau:

- \(27 = 3^3\) nên \(27^2 = (3^3)^2 = 3^6\)
- \(9 = 3^2\)
- \(81 = 3^4\)

Thay vào biểu thức:

\[
\frac{3^6 \cdot 3^2}{3^4} = \frac{3^{6+2}}{3^4} = \frac{3^8}{3^4} = 3^{8-4} = 3^4 = 81
\]

Kết quả là **81**.

---

**b)**
Tính:

\[
\frac{2^3 \cdot 4^2}{8^3}
\]

Viết lại \(4\) và \(8\):

- \(4 = 2^2\) nên \(4^2 = (2^2)^2 = 2^4\)
- \(8 = 2^3\) nên \(8^3 = (2^3)^3 = 2^9\)

Thay vào biểu thức:

\[
\frac{2^3 \cdot 2^4}{2^9} = \frac{2^{3+4}}{2^9} = \frac{2^7}{2^9} = 2^{7-9} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}
\]

Kết quả là **\(\frac{1}{4}\)**.

---

**c)**
Tính:

\[
\frac{4^2 \cdot 25^2 + 32 \cdot 125}{23 \cdot 5^2}
\]

Viết lại \(4\), \(25\), \(32\), và \(125\):

- \(4 = 2^2\) vậy \(4^2 = (2^2)^2 = 2^4\)
- \(25 = 5^2\) vậy \(25^2 = (5^2)^2 = 5^4\)
- \(32 = 2^5\)
- \(125 = 5^3\)

Thay vào biểu thức:

\[
4^2 \cdot 25^2 = 2^4 \cdot 5^4
\]
\[
32 \cdot 125 = 2^5 \cdot 5^3
\]

Tính tổng tử số:

\[
2^4 \cdot 5^4 + 2^5 \cdot 5^3
\]

Rút gọn:

\[
= 5^3(2^4 \cdot 5 + 2^5) = 5^3(16 \cdot 5 + 32) = 5^3(80 + 32) = 5^3 \cdot 112
\]

Tử số giờ là:

\[
\frac{5^3 \cdot 112}{23 \cdot 5^2}
\]

Rút gọn:

\[
= \frac{112 \cdot 5^{3-2}}{23} = \frac{112 \cdot 5}{23} = \frac{560}{23}
\]

Kết quả là **\(\frac{560}{23}\)**.

Tóm lại:

- a) **81**
- b) **\(\frac{1}{4}\)**
- c) **\(\frac{560}{23}\)**