Để tính các biểu thức trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) \( 4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \)

1. **Tính giá trị từng phần**:
- \( 4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \)
- \( 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \)

2. **Nhân các giá trị**:
\[
2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}} = 2^{\frac{7}{6}}
\]

### b) \( 2^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \)

1. **Đổi phần tử thứ hai thành cơ số 2**:
- \( \frac{1}{8} = 2^{-3} \)
- \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \)

2. **Tính giá trị**:
\[
2^{\frac{3}{4}} - 2^{-3} + 2^{-1}
\]

3. **Chuyển về cùng một mẫu** (có thể lấy mẫu là \( 2^{-3} \)):
\[
2^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4} + \frac{3}{3}} = 2^{\frac{3+4}{4}} = 2^{\frac{7}{4}} \quad (Đổi về cùng mẫu)
\]

4. **Giá trị cuối cùng sẽ là**:
\[
2^{\frac{7}{4}} - 2^{-3} + 2^{-1}
\]

### c) \( \frac{3}{5} + \left( -\frac{u}{3} \right) + \left( -\frac{3}{4} \right) \)

1. **Tính giá trị**:
\[
\frac{3}{5} - \frac{u}{3} - \frac{3}{4}
\]

2. **Chuyển về cùng mẫu (mẫu số là 60)**:
\[
\frac{3}{5} = \frac{36}{60}, \quad -\frac{u}{3} = -\frac{20u}{60}, \quad -\frac{3}{4} = -\frac{45}{60}
\]

3. **Cộng các giá trị**:
\[
\frac{36 - 20u - 45}{60} = \frac{-20u - 9}{60}
\]

### d) \( \frac{2}{3} + \frac{3}{u} \left( -\frac{4}{9} \right) \)

1. **Tính giá trị**:
\[
\frac{2}{3} - \frac{12}{9u}
\]

2. **Chuyển về cùng mẫu** (mẫu số là \( 9u \)):
\[
\frac{2}{3} = \frac{6u}{9u}
\]

3. **Cộng các giá trị**:
\[
\frac{6u - 12}{9u} = \frac{6(u - 2)}{9u} = \frac{2(u - 2)}{3u}
\]

### e) \( 2^{\frac{3}{11}} \cdot 1^{\frac{1}{12}} - ( -22 ) \)

1. **Tính giá trị**:
- \( 1^{\frac{1}{12}} = 1 \)

2. **Giá trị cuối cùng**:
\[
2^{\frac{3}{11}} - (-22) = 2^{\frac{3}{11}} + 22
\]

Hy vọng cách tính này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải từng phần trong bài.