Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết các yêu cầu trong bài toán.

### 1) Chứng minh tứ giác ADMN là hình chữ nhật.

Để chứng minh rằng tứ giác ADMN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh AD và MN vuông góc với nhau và bằng nhau.

- Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên AB, nên MN vuông góc với AB.
- Tương tự, D là hình chiếu vuông góc của M trên AC, nên MN cũng vuông góc với AC.

Do ABC là tam giác vuông tại A và AB < AC, ta có AD vuông góc với AB và AC. Do đó, AD và MN đều vuông góc với nhau.

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng AD = MN:

- Ta có AM = AN + NM + MD. Từ đó ta thấy rằng cạnh AD vuông góc với cạnh MN.
- Cạnh MN được tạo thành từ hai cạnh vuông góc với nhau, trong đó mỗi cạnh đều là một đoạn thẳng từ M đến các hình chiếu tại D và N, nghĩa là:

\[ AD = MN = |MB| \text{ vả } |MC|. \]

Vậy tứ giác ADMN là hình chữ nhật.

### 2) Chứng minh tứ giác APND là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác APND là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

- Từ việc đã chứng minh ADMN là hình chữ nhật, ta thu được MN vuông góc với AD.
- Vì điểm P được lấy trên tia đối của NM sao cho NM = NP, nên AO vuông góc với NM và NP cũng vuông góc với NM.

Từ đó:
- NP = NM --> cạnh đối diện trong tứ giác APND bằng nhau.
- AD = AP và ND = AN.

Như vậy, tứ giác APND có các cặp cạnh đối diện bằng nhau, do đó tứ giác APND là hình bình hành.

### 3) Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng QM và AQN = ADN.

- Ta có Q là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng AP. Từ đó, theo tính chất của hình chiếu, O là điểm mà QM cắt ND.
- Trong tứ giác APND là hình bình hành, nên O sẽ là điểm giao nhau giữa QM và ND, đồng nghĩa với việc O là trung điểm của QM.

- Để chứng minh rằng AQN = ADN, ta cần chứng minh rằng góc AQN và góc ADN bằng nhau. Chúng ta đã biết AQN là góc vuông tại N, và ADN cũng là góc vuông tại D.

Vì vậy, ta có AQN = ADN.

### Kết luận:

Chúng ta đã hoàn thành từng yêu cầu của bài toán. Hy vọng cách chứng minh trên giúp bạn hiểu rõ hơn về các kiến thức toán học liên quan. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào thêm, hãy cho tôi biết!