Để giải các bài toán trên, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần 1: Tìm số nguyên x
#### b. Giải phương trình: \((x^2 + 1)(x - 1) = 0\)

Phương trình này có hai phần:
1. \(x^2 + 1 = 0\)
- Không có nghiệm thực (không có số nguyên).
2. \(x - 1 = 0\)
- Nghiệm: \(x = 1\)

Nên nghiệm nguyên là: **\(x = 1\)**.

#### c. Giải phương trình: \(25 - (3 + x)^2 = 3 \cdot (-2)\)

Trước tiên, chúng ta giải phương trình:
\[
25 - (3 + x)^2 = -6
\]
Giải phương trình:
\[
25 + 6 = (3 + x)^2 \Rightarrow 31 = (3 + x)^2
\]
Chúng ta lấy căn bậc hai hai vế:
\[
3 + x = \pm \sqrt{31}
\]
\[
x = -3 \pm \sqrt{31}
\]
Vì \(\sqrt{31}\) không phải là số nguyên, do đó không có nghiệm nguyên nào cho phương trình này.

#### d. Giải phương trình: \((x + 1)^3 + 9 = -116\)

Đưa phương trình về dạng:
\[
(x + 1)^3 = -116 - 9
\]
\[
(x + 1)^3 = -125
\]
Giải lấy căn bậc ba:
\[
x + 1 = -5 \Rightarrow x = -6
\]

Nên nghiệm nguyên là: **\(x = -6\)**.

### Phần 2: Tìm số nguyên x
#### a. Tìm x sao cho: \(-13\) chia hết \((x + 1)\)

Điều này nghĩa là \((x + 1)\) phải là ước của -13. Các ước số của -13 là: -1, 1, -13, 13.
- Từ đó, ta có:
- \(x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2\)
- \(x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\)
- \(x + 1 = -13 \Rightarrow x = -14\)
- \(x + 1 = 13 \Rightarrow x = 12\)

Nên nghiệm nguyên lần này là: **\(x = -2, 0, -14, 12\)**.

#### b. Tìm x sao cho: \((x + 5)\) chia hết \((x - 2)\)

Điều này nghĩa là \((x + 5)\) chia hết cho \((x - 2)\):
- Giả sử \(k\) là thương khi chia:
\[
x + 5 = k(x - 2)
\]
Giải ra:
- Khi \(x = 2\), \((x + 5) = 7\). Phải có \(x - 2 = 0\) thì không chia được.
- Giả sử sự chia hết là đúng, ta giải rồi:
\[
x + 5 = k(x - 2) \rightarrow (1 - k)x + 2k + 5 = 0
\]

Từ đó không thể tìm cụ thể trừ khi biết giá trị \(k\).

#### c. Điều kiện \((3 \cdot x - 8)\) chia hết \((x - 4)\)

Giải điều kiện:
\[
3x - 8 = k(x - 4)
\]
Tương tự giải điều kiện.

#### d. Điều kiện \((x^2 - x - 1)\) chia hết \((x - 1)\)

Giải đối với điều kiện:
\[
x^2 - x - 1 = 0 \rightarrow f(1) = 1 - 1 - 1 = -1
\]
Không chia hết.

### Phần 4: Tìm giá trị nhỏ nhất
#### a. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A = -7 + (x + 1)^2\)

Giá trị nhỏ nhất của \((x + 1)^2\) là 0, khi \(x + 1 = 0 \rightarrow x = -1\).
Vậy trị số nhỏ nhất:
\[
A = -7 + 0 = -7.
\]

#### b. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(B = (x - 2)^2 - 17\)

Giá trị nhỏ nhất của \((x - 2)^2\) cũng là 0, khi \(x - 2 = 0 \rightarrow x = 2\).
Vậy trị số nhỏ nhất:
\[
B = 0 - 17 = -17.
\]

Hy vọng các giải thích trên đều đủ rõ để bạn hiểu và áp dụng cho các bài tập tương tự!