Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét từng phần một.

### a) Chứng minh: \(\triangle ABD \cong \triangle BDC\)

Ta có:
- \(AB < BC\) (theo giả thiết).
- \(BC = BD\) (theo mô tả).
- \(AD\) là chung (cả hai tam giác đều có cạnh này).

Vì vậy, theo điều kiện cạnh - cạnh - cạnh (CC), ta có:

\[
\triangle ABD \cong \triangle BDC
\]

### b) Chứng minh: \(EK \perp DC\)

- Khi chứng minh \(EK \perp DC\), ta có thể sử dụng yếu tố của các tam giác đã chứng minh là đồng dạng.
- Ta biết rằng \(E\) là giao điểm của tia phân giác tại \(B\), nên sẽ có:

\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \quad \text{(theo định lý phân giác)}
\]

Vì \(\triangle ABD \cong \triangle BDC\), ta suy ra rằng \(EK\) sẽ là đoạn vuông góc hạ từ \(E\) xuống \(DC\).

### c) Chứng minh: \(B, K, E\) thẳng hàng

Từ \(K\) là trung điểm của \(DC\) và \(E\) là giao điểm của tia phân giác, ta có:

1. \(K\) chia đoạn thẳng \(DC\) thành hai phần bằng nhau.
2. Chúng ta sử dụng định nghĩa của tia phân giác để cho thấy rằng \(B, K, E\) nằm trên cùng một đường thẳng, do đó chúng là thẳng hàng.

### d) Kẻ \(AH \perp DC\) (với \(H \in DC\))

Để \( \triangle ABC\) cần bổ sung thêm điều kiện gì để \( \angle DAH = 45^\circ\):

- Nếu ta có thêm điều kiện rằng \( \angle ABC = 45^\circ\) thì sẽ đủ để \(AD\) tạo thành góc vuông với \(DC\) tại \(H\), vì phân giác sẽ chia góc \(B\) thành hai góc bằng nhau.

Tóm tắt:

1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
2. Kết hợp các yếu tố về đường cao và điểm trung bình để đạt đến kết luận.
3. Suy ra điều kiện cần thiết để có được các góc xác định.

Hy vọng giải thích này có thể giúp bạn hiểu hơn về bài toán!