Để chứng minh các mệnh đề trên, ta cần sử dụng định nghĩa của căn bậc hai và một số tính chất cơ bản của các số vô hướng không âm.

### a) Chứng minh nếu \( a < b \) thì \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \).

Giả sử \( a < b \) và cả hai số \( a \) và \( b \) đều không âm (tức là \( a \geq 0 \) và \( b \geq 0 \)).

Ta có thể viết lại bất đẳng thức \( a < b \) dưới dạng:
\[
b - a > 0
\]

Bây giờ, ta ý thức rằng \( \sqrt{a} \) và \( \sqrt{b} \) là các số không âm. Theo tính chất của các số không âm, ta có:
\[
\sqrt{b} - \sqrt{a} \geq 0 \implies \sqrt{b} \geq \sqrt{a}
\]
để chứng minh điều này cụ thể hơn, ta bình phương cả hai vế:
\[
b \geq a \implies b = a + (b - a)
\]

vì \( b - a > 0 \), nên \( \sqrt{b} > \sqrt{a} \). Vậy, ta có:
\[
\sqrt{a} < \sqrt{b}
\]

Vì vậy, ta đã chứng minh được mệnh đề a.

### b) Chứng minh nếu \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \) thì \( a < b \).

Giả sử \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \).

Bình phương cả hai vế, ta có:
\[
(\sqrt{a})^2 < (\sqrt{b})^2
\]
tức là:
\[
a < b
\]

Vậy ta đã chứng minh được điều này.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được cả hai mệnh đề:
1. Nếu \( a < b \), thì \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \).
2. Nếu \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \), thì \( a < b \).