Để giải bài toán này, ta cần phân tích bất phương trình sau:

\[
\log_{2,m} \left( \log_2(3^x + 1) \right) > \log_{2,m}
\]

Đầu tiên, ta cần hiểu rõ điều kiện để bất phương trình có nghiệm với mọi \( x \in (-\infty, 0) \).

1. **Phân tích hàm số**: Với \( x \) thuộc vào khoảng \( (-\infty, 0) \):
- Khi \( x \to -\infty \), \( 3^x \to 0 \), nên \( \log_2(3^x + 1) \to \log_2(1) = 0 \).
- Khi \( x = 0 \), \( 3^0 + 1 = 2 \) nên \( \log_2(3^0 + 1) = 1 \).
- Vậy giá trị của \( \log_2(3^x + 1) \) biến thiên từ \( 0 \) đến \( 1 \).

2. **Xét bất phương trình**:

Khi \( \log_2(3^x + 1) \in [0, 1] \):
- Ta cần xác định điều kiện cho \( \log_{2,m}(y) \) (với \( y = \log_2(3^x + 1) \)) có nghĩa, tức là \( m > 0 \) và \( m \neq 1 \).

3. **Biến đổi bất phương trình**:

Bất phương trình trở thành:
- \( \log_{2,m}(0) \) không có nghĩa, vì vậy không thể xảy ra. Ta chỉ cần xét trường hợp \( 0 < y < 1 \).

4. **Điều kiện cho \( m \)**:
- Nếu \( m < 1 \): \( \log_{2,m}(y) \) là hàm đồng biến và bất phương trình sẽ không thỏa mãn với mọi \( x \).
- Nếu \( m > 1 \): \( \log_{2,m}(y) \) là hàm nghịch biến. Khi \( y \to 0 \), \( \log_{2,m}(y) \to -\infty \) và khi \( y \to 1\), \( \log_{2,m}(1) = 0 \). Như vậy, bất phương trình có giá trị dương khi \( m > 1 \).

Vì vậy, giá trị thực của tham số \( m \) để bất phương trình có nghiệm với mọi \( x \in (-\infty, 0) \) là:
- **C. \( m > 1 \)**.