Để tìm giá trị của \( y \) trong phương trình đã cho, chúng ta cần xử lý các biểu thức liên quan.

Đầu tiên, chúng ta viết lại phương trình mà bạn đã đưa ra:

\[
\frac{y - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots + \frac{1}{90}} = \frac{1}{3}
\]

Từ đây, ta nhân cả hai vế với \( \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots + \frac{1}{90}\right) \):

\[
y - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots + \frac{1}{90} \right)
\]

Giờ ta cần tính tổng các phân số \( \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \ldots, \frac{1}{90} \).

Các số mẫu này là bội số của 2 (bắt đầu từ 2) cho tới 90. Ta có thể viết rõ ràng như sau:

- \( \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \times 1} \)
- \( \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \times 3} \)
- \( \frac{1}{12} = \frac{1}{2 \times 6} \)
- \( \frac{1}{20} = \frac{1}{2 \times 10} \)
- ...
- \( \frac{1}{90} = \frac{1}{2 \times 45} \)

Nói chung, chúng ta có thể khẳng định các phân số này là:

\[
\frac{1}{2k} \text{ với } k = 1, 3, 6, 10, \ldots, 45
\]

Để tính chính xác tổng này, chúng ta cần tập hợp tất cả các phân số trên lại thành tổng:

\[
S = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots + \frac{1}{90}
\]

Để số hạng không quá phức tạp, tạo thành một biểu thức tổng quát. Giả sử ta tính tổng lên đến \( N \):

Bây giờ, khi đã có \( S \), ta có thể thay vào phương trình ban đầu:

\[
y - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} S
\]
\[
y = \frac{1}{3} S + \frac{1}{2}
\]

Nếu \( S \) được tính chính xác, bạn có thể tìm được giá trị của \( y \).

Bên cạnh đó, với giá trị đã biết trong các trường hợp cụ thể (nếu không có quá nhiều), bạn có thể thay giá trị đã tính cho \( S \) để lấy giá trị cuối cùng cho \( y \).

Thực hiện các phép tính nếu cần thiết và tính giá trị tổng. Sau đó, thay vào bạn sẽ tìm được giá trị của \( y \).

Nếu bạn cần tính cụ thể giá trị tổng thì có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm hỗ trợ khi vừa số lượng hạng tử lớn.