Tứ giác ABCD có AB = BC.AC là tia phân giác góc A. Chứng tỏ: ABCD là hình thang? Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN. Chứng minh rằng: tứ giác BMNC là hình thang cân?

Để chứng minh hai bài toán đã cho về tứ giác và tam giác, ta có thể làm như sau:

### Bài 4: Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang

1. **Giả thiết:**
- Gọi \( AB = BC \).
- \( AC \) là tia phân giác của góc \( A \).

2. **Chứng minh:**
- Theo định nghĩa của tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{AC}
\]
- Do \( AB = BC \), ta có:
\[
\frac{AB}{AB} = \frac{BC}{BC} \Rightarrow 1 = 1
\]
- Từ đó, ta có \( \angle CAB = \angle DAC \) (do AC là tia phân giác).
- Suy ra, góc A và góc D ở hai cạnh bên của AC là bằng nhau.
- Hệ quả là \( AD \) song song với \( BC \).
- Vậy, tứ giác ABCD là hình thang.

### Bài 5: Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân

1. **Giả thiết:**
- Tam giác \( ABC \) có \( AB = AC \).
- Trên \( AB \), lấy \( M \) và \( N \) sao cho \( AM = AN \).

2. **Chứng minh:**
- Từ giả thiết, ta có:
\[
AM = AN
\]
- Từ đó, ta suy ra được góc \( \angle BMA \) và góc \( \angle CNA \) có quan hệ đối xứng.
- Hơn nữa, do tam giác \( ABC \) là cân tại \( A \), nên \( \angle ABC = \angle ACB \).
- Kết hợp lại, ta có:
\[
BM = CN
\]
- Do đó, từ hai cặp cạnh BM và CN bằng nhau, cùng với sự đối xứng của góc còn lại, ta suy ra rằng tứ giác \( BMNC \) là hình thang cân.

Tóm lại, tứ giác ABCD là hình thang theo bài 4 và tứ giác BMNC là hình thang cân theo bài 5.