Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu:

1. **Tính BC, AH**:
- Tam giác ABC vuông tại A với AB = 15 cm và AC = 20 cm.
- Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
\]
- Để tính AH, ta sử dụng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12 \text{ cm}
\]

2. **Chứng minh \(\triangle AEH \sim \triangle AHB\)**:
- Hai tam giác có cùng góc A, và góc EH tạo bởi đường cao AH và cạnh AB là góc vuông.
- Do đó:
\[
\triangle AEH \sim \triangle AHB
\]

- Từ đó có tỉ số:
\[
\frac{AE}{AH} = \frac{AH}{AB} \quad \Rightarrow \quad AH^2 = AE \cdot AB
\]

3. **Chứng minh \(\triangle ABC \sim \triangle AFE\)**:
- Tương tự, do hai tam giác này cũng có cùng một góc và một góc vuông, ta có:
\[
\triangle ABC \sim \triangle AFE
\]

4. **Tính diện tích tứ giác BCFE**:
- Diện tích tứ giác BCFE có thể tính bằng diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích tam giác AEF.
- Diện tích tam giác ABC thì tính theo công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ cm}^2
\]

- Diện tích tam giác AEF có thể xác định thông qua tỉ lệ với tam giác ABC, nhưng cần thêm thông tin về AE hoặc EF để tính chính xác.

**Kết luận**:
- \(BC = 25 \text{ cm}\) và \(AH = 12 \text{ cm}\).
- Các chứng minh tam giác và tính chính xác diện tích cần thêm thông tin hoặc công thức cụ thể từ bài toán.