Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các trung tuyến và định lý về tỉ lệ trong tam giác để chứng minh rằng \( PE \parallel NF \).

1. **Gọi các điểm và định nghĩa**:
- Gọi \( G \) là giao điểm của ba trung tuyến \( AM \), \( BN \) và \( CP \).
- \( E \) là trung điểm của đoạn \( GB \).
- \( F \) là trung điểm của đoạn \( GC \).

2. **Sử dụng trọng tâm**:
- Tính chất của trọng tâm \( G \) cho biết rằng \( G \) chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn tỷ lệ \( 2:1 \).
- Cụ thể, ta có:
\[
\frac{AG}{GM} = 2 \quad \text{và} \quad \frac{BG}{GN} = 2 \quad \text{và} \quad \frac{CG}{GP} = 2
\]

3. **Xác định các điểm**:
- Vì \( E \) là trung điểm của \( GB \), ta có \( GE = \frac{1}{2}GB = \frac{1}{2} \cdot 2GN = GN \).
- Tương tự, vì \( F \) là trung điểm của \( GC \), ta có \( GF = \frac{1}{2}GC = \frac{1}{2} \cdot 2GP = GP \).

4. **Lập tỉ lệ**:
- Từ đó, chúng ta sẽ có:
\[
GE = GN \quad \text{và} \quad GF = GP
\]

5. **Sử dụng định lý Thales**:
- Trong tam giác \( GBN \), ta có \( PE \) và \( NF \) lần lượt là hai đoạn thẳng đi qua các trung điểm \( E \) và \( F \).
- Theo định lý Thales, nếu các đoạn thẳng này cắt nhau trong tam giác tại điểm tương ứng đúng tỉ lệ thì chúng song song với nhau.

6. **Kết luận**:
- Vì \( GE = GN \) và \( GF = GP \), tức là tỉ lệ giữa các đoạn thẳng được tạo ra là bằng nhau.
- Do đó theo định lý Thales, ta có \( PE \parallel NF \).

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng \( PE \parallel NF \).