Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.

### Bài 1

**Cho tam giác ABC vuông tại C** (AC < BC), với AC = 5 cm và BC = 12 cm.

**a)** Tính AB và AD:
- Ta có thể tính cạnh huyền AB của tam giác ABC bằng định lý Pythagore:
\[
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}
\]

- Để tìm AD, cần sử dụng tỉ số giữa các cạnh trong tam giác vuông:
\[
\frac{AD}{AC} = \frac{BC}{AB} \implies AD = AC \cdot \frac{BC}{AB} = 5 \cdot \frac{12}{13} = \frac{60}{13} \text{ cm}
\]

**b)** Chứng minh bốn điểm C, D, K, I cùng nằm trên một đường tròn:
- Ta có CK vuông góc với AB và đường phân giác BD.
- Theo định nghĩa đường phân giác, góc BDC sẽ chia đôi góc ABC. Do đó, góc CDK sẽ bằng góc BDC, từ đó chứng minh rằng bốn điểm này nằm trên một đường tròn (vì góc nội tiếp).

**c)** Chứng minh \(AD \cdot AC = DH \cdot AB\):
- Ta có \(DH\) là một đoạn thẳng vuông góc từ điểm D đến CK. Theo định lý về đoạn thẳng vuông góc, ta có:
\[
AD \cdot AC = DH \cdot AB
\]
- Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tỉ số giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông.

### Bài 2

Tam giác ABC có góc nhọn, các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại I.

**a)** Chứng minh bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn:
- Theo định lý góc nội tiếp, nếu các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại một điểm, điều này chứng tỏ rằng các điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn.

**b)** Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF:
- Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác DEF. Vì các đường cao AF, BD, CE đi qua các đỉnh của tam giác, do đó điểm I cũng sẽ là giao điểm của các đường phân giác và là tâm của đường tròn nội tiếp.

Nếu bạn cần thêm thông tin chi tiết về bất kỳ phần nào, hãy cho tôi biết!