Để xác định giá trị \( b \) trong trường hợp này, ta cần sử dụng những thông tin về hình hộp và vị trí của trọng tâm \( G \) của tam giác \( AB'D' \).

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử điểm \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, b, 0) \), \( D(0, b, 0) \)
- Điểm bên trên là \( A'(0, 0, h) \), \( B'(a, 0, h) \), \( C'(a, b, h) \), \( D'(0, b, h) \)

2. **Tính tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( AB'D' \)**:
- Tọa độ điểm \( G \) là trung bình cộng tọa độ các đỉnh \( A, B', D' \):
\[
G = \left( \frac{0 + a + 0}{3}, \frac{0 + 0 + b}{3}, \frac{0 + h + h}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{2h}{3} \right)
\]

3. **Xác định vector \( \overrightarrow{A'C} \)**:
- Tọa độ điểm \( C \) là \( (a, b, 0) \) và \( A' \) là \( (0, 0, h) \):
\[
\overrightarrow{A'C} = \left( a - 0, b - 0, 0 - h \right) = (a, b, -h)
\]

4. **Sử dụng điều kiện đã cho**:
- Theo đề bài: \( \overrightarrow{A'C} = b \overrightarrow{A'G} \)
- Đầu tiên, tính vector \( \overrightarrow{A'G} \):
\[
\overrightarrow{A'G} = G - A' = \left( \frac{a}{3} - 0, \frac{b}{3} - 0, \frac{2h}{3} - h \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, -\frac{h}{3} \right)
\]
- Bây giờ, ta đặt phương trình cho vector:
\[
(a, b, -h) = b \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, -\frac{h}{3} \right)
\]

5. **Giải phương trình cho từng thành phần**:
- Đầu tiên, cho phần x:
\[
a = b \cdot \frac{a}{3} \Rightarrow 3a = ba \Rightarrow b = 3 \quad (với \, a \neq 0)
\]

- Thứ hai, cho phần y:
\[
b = b \cdot \frac{b}{3} \Rightarrow 3b = b^2 \Rightarrow b(b - 3) = 0
\]
Từ đây, \( b = 0 \) hoặc \( b = 3 \).

Vậy giá trị của \( b \) là:

\[
\boxed{3}
\]