Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{\sin A}{2} \leq \frac{a}{2\sqrt{bc}} \), ta có thể sử dụng định lý sin trong tam giác.

1. **Theo định lý sin**, ta có:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]
Trong đó \( R \) là bán kính đường tròn ngoài tiếp tam giác.

2. Từ định lý trên, ta có:
\[
\sin A = \frac{a}{2R}
\]

3. Thay \( \sin A \) vào bất đẳng thức:
\[
\frac{\sin A}{2} = \frac{a}{4R}
\]

4. Như đã biết từ công thức diện tích tam giác:
\[
S = \frac{1}{2}bc\sin A
\]
mà \( S = R \cdot \frac{abc}{4R} \Rightarrow S = \frac{abc}{4R} \).

5. Suy ra \( \sin A = \frac{2S}{bc} \).

6. Thay vào bất đẳng thức:
\[
\frac{a}{4R} \leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}
\]

7. Chứng minh bất đẳng thức này đi đến \( 4R \geq 2\sqrt{bc} \).

8. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
\[
R \geq \sqrt{\frac{bc}{4}}
\]

9. Từ đó, \( 4R \geq 2\sqrt{bc} \) đúng, từ đó chúng ta có:
\[
\frac{\sin A}{2} \leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}.
\]

Vậy chứng minh đã hoàn thành.