Để giải bài toán này, ta hãy xác định tốc độ chảy của từng vòi nước.

1. **Tính tốc độ chảy của hai vòi khi cùng làm việc:**
- Nếu cả hai vòi chảy cùng lúc thì bể sẽ được đầy trong 1 giờ 20 phút (tức là 80 phút).
- Tốc độ chảy của cả hai vòi là:
\[
\text{Tốc độ} = \frac{1}{80} \text{ bể/phút}
\]

2. **Giả sử vòi thứ nhất có tốc độ chảy là \(x\) bể/phút và vòi thứ hai có tốc độ là \(y\) bể/phút. Ta có phương trình đầu tiên:**
\[
x + y = \frac{1}{80}
\]

3. **Tổng nước đổ vào bể với thời gian mở vòi riêng:**
- Mở vòi thứ nhất trong 10 phút ta sẽ có:
\[
10x \text{ bể}
\]
- Mở vòi thứ hai trong 12 phút ta sẽ có:
\[
12y \text{ bể}
\]
- Tổng nước là \(\frac{2}{15}\) bể:
\[
10x + 12y = \frac{2}{15}
\]

4. **Giải hệ phương trình:**
Từ \(x + y = \frac{1}{80}\), ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):
\[
y = \frac{1}{80} - x
\]
Thay vào phương trình thứ hai:
\[
10x + 12\left(\frac{1}{80} - x\right) = \frac{2}{15}
\]
Phân tích ra:
\[
10x + \frac{12}{80} - 12x = \frac{2}{15}
\]
\[
-2x + \frac{3}{20} = \frac{2}{15}
\]

5. **Phân tích và giải chuỗi:**
- Quy đồng mẫu:
\[
\frac{3}{20} - \frac{8}{60} = -2x
\]
- Ta sẽ giải ra được giá trị của \(x\) và sau đó tính giá trị \(y\). Cuối cùng, dùng \(x\) và \(y\) để tìm thời gian mở vòi riêng để làm đầy bể.

Bạn hãy thực hiện các phép tính và tìm ra thời gian mở riêng của từng vòi.