Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x - y = 3 \quad (1) \\
3x - 4y = 2 \quad (2)
\end{cases}
\]

Ta sẽ giải từ phương trình (1) trước.

Từ (1), ta có:
\[
x = y + 3 \quad (3)
\]

Substituting (3) vào (2):
\[
3(y + 3) - 4y = 2
\]

Giải phương trình này:
\[
3y + 9 - 4y = 2 \\
-y + 9 = 2 \\
-y = 2 - 9 \\
-y = -7 \\
y = 7
\]

Thay giá trị của \(y\) vào (3) để tìm \(x\):
\[
x = 7 + 3 = 10
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x_0, y_0) = (10, 7) \).

Tính \(x_0 + y_0\):
\[
x_0 + y_0 = 10 + 7 = 17
\]

Kết quả là \( \boxed{17} \).