Để xác định số nghiệm nguyên dương của phương trình \( 2(x + y) + 5 = 3xy \), ta sẽ biến đổi phương trình này.

Bắt đầu từ phương trình:

\[
2(x + y) + 5 = 3xy
\]

Ta có thể viết lại thành:

\[
3xy - 2x - 2y - 5 = 0
\]

Chuyển đổi phương trình này theo dạng tích:

\[
3xy - 2x - 2y = 5
\]

Giả sử \( x \) và \( y \) là các số nguyên dương, ta có thể biến đổi thêm:

\[
3xy = 2x + 2y + 5
\]

Chia cả hai vế cho \( xy \) (vì \( x, y > 0 \)):

\[
3 = \frac{2}{y} + \frac{2}{x} + \frac{5}{xy}
\]

Từ đó ta có thể nhân hai bên với \( xy \):

\[
3xy = 2x + 2y + 5
\]

Ta cần tìm các cặp \( (x, y) \) nguyên dương thỏa mãn phương trình trên.

Bây giờ, thử nghiệm một số giá trị cho \( x \) và tính \( y \):

1. **Khi \( x = 1 \)**:
\[
3y = 2 + 2y + 5 \implies y = 7
\]
2. **Khi \( x = 2 \)**:
\[
6y = 4 + 2y + 5 \implies 4y = 9 \quad (không có nghiệm nguyên)
\]
3. **Khi \( x = 3 \)**:
\[
9y = 6 + 2y + 5 \implies 7y = 11 \quad (không có nghiệm nguyên)
\]
4. **Khi \( x = 4 \)**:
\[
12y = 8 + 2y + 5 \implies 10y = 13 \quad (không có nghiệm nguyên)
\]
5. **Khi \( x = 5 \)**:
\[
15y = 10 + 2y + 5 \implies 13y = 15 \quad (không có nghiệm nguyên)
\]

Tiếp tục thử cho đến khi \( x = n \):

Nếu kiểm tra thêm vài giá trị khác, sẽ thấy chỉ có nghiệm \( (1, 7) \) và \( (7, 1) \) là nghiệm nguyên dương duy nhất.

Cuối cùng, ta có 2 nghiệm nguyên dương:

1. \( (1, 7) \)
2. \( (7, 1) \)

Do đó, tổng cộng có **2 nghiệm nguyên dương** cho phương trình \( 2(x + y) + 5 = 3xy \).