Để giải phương trình \( 9x^2 + y^2 + 20 = 4(3x + 2y) \), trước tiên, ta sẽ khai triển và sắp xếp lại để đưa về dạng chuẩn hơn.

1. Phát triển vế phải:
\[
9x^2 + y^2 + 20 = 12x + 8y
\]

2. Đưa tất cả các hạng tử về một vế:
\[
9x^2 + y^2 - 12x - 8y + 20 = 0
\]

3. Nhóm các hạng tử:
\[
9x^2 - 12x + y^2 - 8y + 20 = 0
\]

4. Tiến hành hoàn thành bình phương cho biến \(x\) và \(y\).

- Đối với \(x\):
\[
9x^2 - 12x = 9\left(x^2 - \frac{12}{9}x \right) = 9\left(x^2 - \frac{4}{3}x \right)
\]
Thêm và trừ \(\left(\frac{4}{6}\right)^2 = \frac{4}{9}\):
\[
= 9\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - 4
\]

- Đối với \(y\):
\[
y^2 - 8y = (y^2 - 8y + 16 - 16) = (y - 4)^2 - 16
\]

5. Thay thế vào phương trình ban đầu:
\[
9\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - 4 + (y - 4)^2 - 16 + 20 = 0
\]
\[
9\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 + (y - 4)^2 = 0
\]

6. Ghi chú rằng tổng của hai bình phương bằng 0 chỉ khi từng bình phương đó bằng 0. Do đó:
\[
9\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}
\]
\[
(y - 4)^2 = 0 \implies y = 4
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
\left(x, y\right) = \left(\frac{2}{3}, 4\right)
\]