Chứng minh hệ thức \( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \) trong tam giác vuông \( ABC \) như sau:

### Bước 1: Xác định các cạnh và góc

Cho tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \), \( \angle C = \alpha \) và \( \angle B = 90^\circ - \alpha \). Theo định nghĩa:

- \( CA = b \)
- \( BC = a \)
- \( AH = h \)

### Bước 2: Tính chiều cao \( h \)

Chiều cao của tam giác vuông từ đỉnh \( A \) đến cạnh huyền \( BC \) có thể được tính bằng công thức:

\[
h = b \cdot \sin(\alpha)
\]

### Bước 3: Tính độ dài của các cạnh theo góc và chiều cao

Từ tam giác \( AHC \):

- \( AC = b \)
- \( AH = h \)
- Góc \( \angle C = \alpha \)

Theo định nghĩa của sin và cos:

\[
\sin(\alpha) = \frac{h}{b} \implies h = b \cdot \sin(\alpha)
\]

\[
\cos(\alpha) = \frac{CA}{AC} = \frac{b}{a} \implies b = a \cdot \cos(\alpha)
\]

### Bước 4: Biểu diễn các hàm sin, cos

Khi thay thế giá trị \( b \) vào hàm \( \sin(\alpha) \):

\[
\sin(\alpha) = \frac{h}{b} = \frac{h}{a \cdot \cos(\alpha)}
\]

Từ đây, chúng ta có thể viết:

\[
\sin(\alpha) \cdot a \cdot \cos(\alpha) = h
\]

### Bước 5: Sử dụng công thức sin2x

Áp dụng công thức:

\[
\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)
\]

Do đó, ta đã chứng minh được:

\[
\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)
\]

### Kết luận

Hệ thức đã được chứng minh:
\[
\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha
\]