Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số định lý trong hình học về nửa đường tròn.

### a) Chứng minh: \(CD = AC + BD\) và \(\angle COD = 90^\circ\)

1. **Chứng minh \(\angle COD = 90^\circ\)**:
- Từ điểm \(M\) (thuộc nửa đường tròn) kẻ các tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) với đường tròn tại hai điểm \(C\) và \(D\).
- Theo định lý tiếp tuyến, góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc \(C\) (hay \(D\)) vuông với \(OC\) (hay \(OD\)).
- Do đó, \(\angle OCM = 90^\circ\) và \(\angle ODM = 90^\circ\).
- Khi đó, ta có \(\angle COD = \angle OCM + \angle ODM = 90^\circ\).

2. **Chứng minh \(CD = AC + BD\)**:
- Theo định lý tiếp tuyến, ta có \(AC = OM\) và \(BD = OM\).
- Khi đó, tổng chiều dài đường thẳng \(CD\) sẽ là tổng của các đoạn \(AC\) và \(BD\).
- Vậy \(CD = AC + BD\).

### b) Chứng minh: \(AC \cdot BD = R^2\)

1. **Áp dụng định lý Pythagoras**:
- Tại tam giác \(OAC\), theo định lý Pythagoras, ta có \(OA^2 = OC^2 + AC^2\). Mà \(OA = R\) và \(OC = R\), vậy \(R^2 = R^2 + AC^2\).
- Tương tự cho tam giác \(OBD\), ta có \(R^2 = R^2 + BD^2\).

2. **Vì vậy, ta có**:
- \((AC + BD)^2 = R^2 + R^2\)
- Chia cho \(R^2\), ta sẽ có: \(AC \cdot BD = R^2\).

Từ các phân tích và chứng minh trên, ta đã hoàn thành việc chứng minh hai kết quả.