Để chứng minh hai kết quả trong bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác và một số định lý liên quan.

### a) Chứng minh rằng \( MN \parallel PQ \)

1. **Gọi tọa độ các điểm**:
- Giả sử điểm \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(c, h) \).
- Tọa độ điểm \( M \) (trung điểm của \( AB \)):
\[
M\left( \frac{b}{2}, 0 \right)
\]
- Tọa độ điểm \( N \) (trung điểm của \( AC \)):
\[
N\left( \frac{c}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]
- Tọa độ điểm \( P \) (trung điểm của \( BM \)):
\[
P\left( \frac{b + \frac{b}{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3b}{4}, 0 \right)
\]
- Tọa độ điểm \( Q \) (trung điểm của \( CN \)):
\[
Q\left( \frac{c + \frac{c}{2}}{2}, \frac{h + \frac{h}{2}}{2} \right) = \left( \frac{3c}{4}, \frac{3h}{4} \right)
\]

2. **Tính độ dốc của các đoạn thẳng**:
- Độ dốc của \( MN \):
\[
\text{Độ dốc của } MN = \frac{\frac{h}{2} - 0}{\frac{c}{2} - \frac{b}{2}} = \frac{h}{c-b}
\]
- Độ dốc của \( PQ \):
\[
\text{Độ dốc của } PQ = \frac{\frac{3h}{4} - 0}{\frac{3c}{4} - \frac{3b}{4}} = \frac{h}{c-b}
\]

3. **Kết luận**:
- Vì độ dốc của \( MN \) và \( PQ \) đều bằng nhau, suy ra \( MN \parallel PQ \).

### b) Chứng minh rằng \( MN = \frac{2}{3}PQ \)

1. **Tính độ dài của các đoạn thẳng**:
- Độ dài \( MN \):
\[
MN = \sqrt{\left( \frac{c}{2} - \frac{b}{2} \right)^2 + \left( \frac{h}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\left(\frac{c-b}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}
\]
2. **Tính độ dài \( PQ \)**:
\[
PQ = \sqrt{\left(\frac{3c}{4} - \frac{3b}{4}\right)^2 + \left(\frac{3h}{4} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3(c-b)}{4}\right)^2 + \left(\frac{3h}{4}\right)^2}
\]

3. **So sánh độ dài**:
- Ta có:
\[
PQ = \frac{3}{4} \sqrt{(c-b)^2 + h^2}
\]
và
\[
MN = \frac{1}{2} \sqrt{(c-b)^2 + h^2}
\]

- Giờ so sánh:
\[
MN = \frac{2}{3} PQ \Rightarrow MN = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \sqrt{(c-b)^2 + h^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(c-b)^2 + h^2}
\]

### Kết luận

Vậy ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b):
- \( MN \parallel PQ \)
- \( MN = \frac{2}{3} PQ \)