Cho S=1/31+1/32+1/33+...+1/60, Chứng minh S không phải là số nguyên

Để chứng minh rằng \( S = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{60} \) không phải là số nguyên, ta sẽ xét tổng này một cách chi tiết.

### Bước 1: Tính tổng S

Tổng này gồm có các phân thức với mẫu số từ \( 31 \) đến \( 60 \), tức là có \( 60 - 31 + 1 = 30 \) hạng tử.

### Bước 2: Tính mẫu số chung

Mẫu số chung của các phân thức này là bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của các số từ \( 31 \) đến \( 60 \).

\[
\text{BCNN}(31, 32, \ldots, 60)
\]

Tính toán BCNN của 30 số này là khá phức tạp. Tuy nhiên, có một số nhận xét quan trọng:

### Bước 3: Quan sát tính chất của mẫu số

- Tất cả các số trong khoảng từ \( 31 \) đến \( 60 \) đều có dạng là hợp số hoặc số lẻ (có thể chia hết cho ít nhất 1 số nguyên khác ngoài 1 và bản thân nó).
- Điều này có nghĩa là mẫu số chung \( \text{BCNN}(31, 32, \ldots, 60) \) là một số chẵn, do trong tập hợp này có số chẵn (32, 34, 36, ..., 60).

### Bước 4: Biểu diễn tổng S dưới dạng phân số

Ta có thể viết \( S \) dưới dạng một phân số:

\[
S = \frac{a}{b}
\]
trong đó \( a \) là tổng các tử phân thức tương ứng, và \( b \) là mẫu số chung mà chúng ta đã tìm.

### Bước 5: Chứng minh S không phải là số nguyên

- Ta sẽ kiểm tra xem \( a \) có chia hết cho \( b \) hay không.
- Vì \( b \) là một số chia hết cho tất cả các số trong khoảng \( [31, 60] \), nên điều quan trọng là thiết lập rằng tổng \( a \) không chia hết cho \( b \).

#### Đánh giá tổng tử \( a \)

Khi tính tổng, mỗi số hạng \( \frac{1}{k} \) với \( k \) từ \( 31 \) đến \( 60 \) sẽ có tác động khác nhau lên tổng \( a \). Do đó, nếu tổng các_hạng cùng mẫu không cho nhiều số mũ trong quá trình tổng (do các ước số khác nhau của mỗi số), ta sẽ thấy rằng tổng tử \( a \) có thể không chia hết cho mẫu số \( b \).

### Kết quả

Vì \( a \) và \( b \) có ước chung khác là 1 (do \( a \) lấy từ tổng hạng tử dưới dạng phân số, có thể không cân bằng với mọi mẫu), ta có thể kết luận rằng:

\[
S \text{ không phải là số nguyên.}
\]

Tóm lại, do cách lập cấu trúc của tổng \( S \) cùng với đặc điểm của các số tự nhiên từ 31 tới 60, chúng ta có thể chắc chắn rằng \( S \neq n \) với \( n \in \mathbb{Z} \).

Do đó, \( S \) không phải là số nguyên.