Để giải quyết bài toán hình học này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh AMCK là hình thoi.

Để chứng minh AMCK là hình thoi, ta cần chỉ ra rằng hai đoạn AM và CK và hai đoạn AK và MC có độ dài bằng nhau.

1. **Xét các đoạn AM và CK**:
- AM là trung tuyến trong tam giác vuông ABC tại A, nên \( AM = \frac{1}{2}BC \).
- Điểm I là trung điểm của AC, nên \( AC = 2 \cdot AI \).
- Còn điểm K nằm trên tia đối của IM với \( IK = IM \). Khi đó, ta có \(|IK| = |IM|\).

2. **Xét các đoạn AK và MC**:
- Ta có \( AK = AI + IK \) và \( MC = MI \). Vì điểm M chia AC, nên có tỉ lệ tương đối giữa các đoạn.

Từ đó, ta có thể kết luận \( AM = CK \) và \( AK = MC \), từ đó suy ra rằng AMCK là hình thoi.

### b) Chứng minh AKMB là hình bình hành.

Ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác AKMB đều bằng nhau.

1. Bởi vì AM là trung tuyến, phân kỳ đối diện có hình bình hành.
2. Từ phần (a), đã chứng minh rằng \( AM = BK \) và \( AK = MB \).

Do đó, AKMB là hình bình hành.

### c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông.

Để tứ giác AMCK là hình vuông, ta cần hai điều kiện:
1. AM phải vuông góc CK.
2. AM phải bằng CK.

1. **Điều kiện 1 (vuông góc)**:
- Tứ giác AMCK sẽ là hình vuông nếu góc AMK = 90 độ.

2. **Điều kiện 2 (bằng nhau)**:
- Để AM = CK, ta có thể thiết lập tỉ lệ giữa cạnh trong tam giác ABC sao cho \( AC = 2AM \).

Từ đó, có thể diễn ra quy trình tính toán để tìm giá trị của góc A, từ đó suy ra tam giác ABC có thể là vuông. Cụ thể hơn, ta có thể tính sin, cos để từ đó có hệ phương trình.

Kết quả cuối cùng phụ thuộc vào việc thực hiện phép tính chính xác và chứng minh các điều kiện hình học đúng theo các dữ kiện đã cho.