Để giải bài toán, ta cần giải quyết điều kiện:

\[
\log_{2}(2x + 2y + m) \geq 1
\]

Điều này tương đương với:

\[
2x + 2y + m \geq 2
\]

Hay là:

\[
m \geq 2 - 2x - 2y
\]

Từ đây, chúng ta có thể xác định để tìm số nguyên \( m \) thuộc đoạn \([-2020; 2019]\) có bao nhiêu giá trị thỏa mãn điều kiện này cho các \( x, y \) là số nguyên.

Ta xét \( m = 2 - 2x - 2y \):

- Khi \( x \) và \( y \) thay đổi, giá trị \( m \) sẽ thay đổi theo.

Giá trị tối thiểu của \( m \) là khi \( x \) và \( y \) lớn nhất (trong trường hợp thuận lợi) và giá trị tối đa là khi \( x \) và \( y \) nhỏ nhất.

Bằng cách xét các giá trị của \( x \) và \( y \) sao cho \( -2020 \leq 2 - 2x - 2y \leq 2019 \):

1. **Kiểm tra giá trị cực tiểu**:
- Với \( 2 - 2x - 2y \geq -2020 \) → \( 2 + 2020 \geq 2x + 2y \) → \( 2022 \geq 2x + 2y \) → \( 1011 \geq x + y \)

2. **Kiểm tra giá trị cực đại**:
- Với \( 2 - 2x - 2y \leq 2019 \) → \( 2 - 2019 \leq 2x + 2y \) → \( -2017 \leq 2x + 2y \) → \( -1008.5 \leq x + y \)

Có thể thấy rằng khi \( x + y \) nằm trong đoạn \( [-1008; 1011] \):

- Tổng số nguyên \( m \) thuộc đoạn \([-2020; 2019]\) sẽ có thể thu thập và đếm.

Giá trị trong đoạn này sẽ là \( -2020 \) tới \( 2019 \).

- Một điểm cần chú ý là tập hợp chỉ có số nguyên trong khoảng này, nằm trong đoạn.

Do đó, tổng số phần tử trong khoảng đó có thể được tính qua:

\[
2019 - (-2020) + 1 = 4039
\]

Cuối cùng, để có không quá 5 phần tử, chúng ta cần điều chỉnh \( x \) và \( y \) để thỏa mãn rằng chỉ có một số ít giá trị \( m \) nhất định.

---

Tóm lại, có thể có **B. 2020, C. 2021 hoặc D. 2019** là các đáp án khả thi.