Để tìm các độ dài trong tam giác vuông ABC với các thông số đã cho, ta sẽ sử dụng các định lý về tam giác vuông và một số hàm lượng giác.

### Thông tin đã cho:
- \( AB = 21 \, \text{cm} \)
- \( \angle C = 40^\circ \)

### a) Tính độ dài \( AC \)

Bởi vì tam giác ABC vuông tại A, ta có thể sử dụng định nghĩa của hàm sin:

\[
\sin(C) = \frac{AC}{AB}
\]
\[
AC = AB \cdot \sin(C)
\]
\[
AC = 21 \cdot \sin(40^\circ)
\]

Tính giá trị của \( \sin(40^\circ) \) bằng máy tính:

\[
AC \approx 21 \cdot 0.6428 \approx 13.5 \, \text{cm}
\]

### b) Tính độ dài \( BC \)

Sử dụng định nghĩa của hàm cosin:

\[
\cos(C) = \frac{AB}{BC}
\]
\[
BC = \frac{AB}{\cos(C)}
\]
\[
BC = \frac{21}{\cos(40^\circ)}
\]

Tính giá trị của \( \cos(40^\circ) \):

\[
BC \approx \frac{21}{0.7660} \approx 27.4 \, \text{cm}
\]

### c) Tính độ dài của phần giáp BD

Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính đoạn BD:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Dùng các giá trị đã biết:

\[
BD^2 = BC^2 - AC^2
\]

Tính:

\[
BD \approx \sqrt{(27.4)^2 - (13.5)^2}
\]
\[
BD \approx \sqrt{750.76 - 182.25} \approx \sqrt{568.51} \approx 23.8 \, \text{cm}
\]

### Kết quả:
a) \( AC \approx 13.5 \, \text{cm} \)
b) \( BC \approx 27.4 \, \text{cm} \)
c) \( BD \approx 23.8 \, \text{cm} \)