Tìm dư trong phép chia 3^2024 cho 13, phép chia 5^2024 cho 7

Để tìm dư của \( 3^{2024} \) chia cho \( 13 \) và \( 5^{2024} \) chia cho \( 7 \), chúng ta sẽ sử dụng Định lý Fermat và một số phép tính.

### Tìm \( 3^{2024} \mod 13 \)

Theo Định lý Fermat, nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) không chia hết cho \( p \), thì:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Ở đây, \( p = 13 \) và \( a = 3 \). Vì \( 3 \) không chia hết cho \( 13 \), ta có:

\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13
\]

Bây giờ, chúng ta cần tính \( 2024 \mod 12 \):

\[
2024 = 12 \times 168 + 0 \Rightarrow 2024 \mod 12 = 0
\]

Vậy:

\[
3^{2024} \equiv 3^0 \equiv 1 \mod 13
\]

### Tìm \( 5^{2024} \mod 7 \)

Áp dụng Định lý Fermat với \( p = 7 \) và \( a = 5 \):

\[
5^{6} \equiv 1 \mod 7
\]

Bây giờ, tính \( 2024 \mod 6 \):

\[
2024 = 6 \times 337 + 2 \Rightarrow 2024 \mod 6 = 4
\]

Do đó:

\[
5^{2024} \equiv 5^4 \mod 7
\]

Bây giờ, cần tính \( 5^4 \mod 7 \):

\[
5^2 = 25 \equiv 4 \mod 7
\]
\[
5^4 = (5^2)^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 2 \mod 7
\]

### Kết luận

Vậy kết quả cuối cùng là:

- Dư của \( 3^{2024} \) chia cho \( 13 \) là \( \boxed{1} \).
- Dư của \( 5^{2024} \) chia cho \( 7 \) là \( \boxed{2} \).