Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( MN \) là tiếp tuyến của đường tròn \((O; R)\), ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định các yếu tố trong bài toán:**
- Đường tròn \((O; R)\) có đường kính \( AB \).
- Tiếp tuyến \( xAy \) tại điểm \( A \).
- Điểm \( M \) thuộc đường thẳng \( xy \).
- Dây cung \( BN \) được kẻ sao cho \( BN \) song song với \( OM \).

2. **Xét mối quan hệ giữa các yếu tố:**
- Ta biết rằng \( AB \) là đường kính của đường tròn, nghĩa là điểm \( O \) (tâm của đường tròn) nằm chính giữa \( A \) và \( B \).
- Đường thẳng \( xAy \) là tiếp tuyến, do đó nó sẽ vuông góc với bán kính \( OA \) tại điểm \( A \).

3. **Chứng minh rằng \( MN \) là tiếp tuyến:**
- Do \( BN \parallel OM \), nên các góc tương ứng tại các điểm \( B \) và \( M \) sẽ bằng nhau:
\[
\angle OMB = \angle OBN
\]
- Như vậy, khi \( MN \) vuông góc với bán kính \( OM \) tại điểm \( M \), áp dụng tính chất căng cung:
- Tại điểm tiếp xúc của tiếp tuyến với đường tròn, bán kính đi qua điểm tiếp xúc sẽ vuông góc với tiếp tuyến. Tức là:
\[
OM \perp MN
\]
- Vậy \( MN \) vuông góc với \( OM \), và \( OM \) là bán kính của đường tròn tại điểm \( O \). Điều đó có nghĩa là \( MN \) tại điểm \( M \) sẽ tiếp xúc với đường tròn.

4. **Kết luận:**
- Vì đoạn thẳng \( MN \) vuông góc với bán kính \( OM \) tại điểm \( M \), suy ra \( MN \) là tiếp tuyến của đường tròn \((O; R)\).

Như vậy, ta đã chứng minh rằng \( MN \) là tiếp tuyến của đường tròn.