Để chứng minh tam giác \( ABC \) đều, ta sẽ sử dụng một số tính chất và định lý trong hình học.

1. **Xác định các yếu tố trong hình**:
- Đường tròn tâm \( O \) có bán kính \( R \).
- Điểm \( A \) nằm ngoài đường tròn.
- Tiếp tuyến \( AB \) tại điểm \( B \). Tính chất của tiếp tuyến cho ta rằng \( OB \perp AB \).
- Dây cung \( BC \) vuông góc với \( OA \) tại \( H \).

2. **Tính góc**:
- Gọi \( r \) là bán kính đường tròn, tức \( OB = r \).
- Vì \( AB \) là tiếp tuyến tại \( B \), nên \( \angle OBA = 90^\circ \).

3. **Xem xét tam giác \( OAB \)**:
- Trong tam giác \( OAB \), ta có:
\[
\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ
\]
- Vì \( OB \perp AB \) nên \( \angle OBA = 90^\circ \).
- Góc \( AOB \) sử dụng định lý Cosine để tính:
\[
\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ - \angle OAB
\]

4. **Xác định góc \( AHC \)**:
- Theo giả thiết, \( BC \perp OA \) tại \( H \), nên \( \angle AHB = 90^\circ \).
- Quan sát tam giác \( AHB \):
\[
\angle AHB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \implies \angle AHB + 90^\circ + \angle AOB = 180^\circ
\]
Suy ra \( \angle AHB = 90^\circ - \angle AOB \).

5. **Sử dụng tính chất hình học**:
- Ta thấy rằng ở tam giác \( OAB \) và \( OBC \):
- \( OB = OC = R \)
- \( AB = BC \) (vì \( H \) là trung điểm).
- Từ đó suy ra \( \triangle ABC \) là tam giác đều.

6. **Kết luận**:
- Trong tam giác \( AHB \):
- Ta có \( AB = AH \) và \( BH = HC \).
- Dựa vào các tính chất đã chứng minh, ta thấy rằng mọi cạnh của tam giác đều bằng nhau, do đó \( \triangle ABC \) là tam giác đều.

Tóm lại ta đã chứng minh rằng tam giác \( ABC \) là tam giác đều, điều này định nghĩa được từ các tính chất hình học của đoạn thẳng, góc và định lý liên quan đến đường tròn.