Để so sánh \(2^{200} \times 2^{100}\) và \(3^{100} \times 3^{100}\), trước tiên chúng ta đơn giản hóa các biểu thức này.

\[ 2^{200} \times 2^{100} = 2^{200 + 100} = 2^{300} \]

Và

\[ 3^{100} \times 3^{100} = 3^{100 + 100} = 3^{200} \]

Bây giờ chúng ta cần so sánh \(2^{300}\) và \(3^{200}\).

Để thực hiện so sánh này, chúng ta có thể lấy logarit (căn bậc nào cũng được, ở đây chúng ta sẽ sử dụng logarit cơ số 10 hoặc logarit tự nhiên) của cả hai biểu thức:

1. Tính logarit của \(2^{300}\):
\[
\log(2^{300}) = 300 \log(2)
\]

2. Tính logarit của \(3^{200}\):
\[
\log(3^{200}) = 200 \log(3)
\]

Bây giờ chúng ta cần so sánh \(300 \log(2)\) và \(200 \log(3)\).

Tạo ra một biểu thức để so sánh:

\[
\frac{300 \log(2)}{200 \log(3)} = \frac{3 \log(2)}{2 \log(3)}
\]

Và bây giờ chúng ta chỉ cần so sánh \(3 \log(2)\) và \(2 \log(3)\).

Tính toán giá trị mỗi logarit:

- \(\log(2) \approx 0.3010\)
- \(\log(3) \approx 0.4771\)

Tính toán:

- \(3 \log(2) \approx 3 \times 0.3010 \approx 0.9030\)
- \(2 \log(3) \approx 2 \times 0.4771 \approx 0.9542\)

Vì \(0.9030 < 0.9542\), ta kết luận:

\[
3 \log(2) < 2 \log(3)
\]

Vậy \(300 \log(2) < 200 \log(3)\) dẫn đến:

\[
2^{300} < 3^{200}
\]

Do đó, ta có thể kết luận:

\[
2^{200} \times 2^{100} < 3^{100} \times 3^{100}
\]

Vậy \(2^{300} < 3^{200}\) hay nói cách khác \(2^{200} \times 2^{100} < 3^{100} \times 3^{100}\).